Формула Сантало

Формула Сантало́ — следствие теоремы Лиувилля о сохранении фазового объёма применяемая для интегрирования функций заданных на расслоении единичных сфер риманова многообразия. А именно она даёт возможность сначала интегрировать по каждой геодезической отдельно, а затем по пространству всех геодезических.

Этот инструмент используется при доказательстве изопериметрических неравенств, а также результатов жёсткости.

Формула названа в честь Луиса Сантало, который доказал её в 1952 году.

Формулировка

Пусть $(M,g)$ — компактное, ориентированное риманово многообразие с краем $\partial M$. Предположим, что длины геодезических в $M$ ограничены, то есть любая геодезическая выходит на границу за определённое время. Пусть ${\phi }_t:SM\to SM$ обозначает геодезический поток на расслоении единичных сфер $SM$. Тогда

$\underset{v\in SM}{\int }f(v)\cdot \mu =\underset{w\in S_{+}\partial M}{\int }[\underset{0}{\overset{\tau (w)}{\int }}f({\phi }_t(w))\cdot dt]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma$

для любой интегрируемой функции $f$ на $SM$. При этом мы предполагаем, что

• $\theta (w)$ — угол между $w$ и направленной внутрь нормалью к $\partial M$ в базовой точке вектора $w\in S_{+}\partial M$ то есть вектора с базовой точкой на границе $\partial M$ направленного внутрь $M$.
• $\mu$ а также $\sigma$ являются римановыми формами объема относительно метрики Сасаки на $SM$ и $S_{+}\partial M$.
• $\tau (w)$ обозначает время выхода геодезической с начальными условиями $w\in S_{+}\partial M$; то есть

  $\tau (w)=\sup \{t\ge 0:\mathrm{\forall }s\in [0,t]:{\phi }_s(x,v)\in SM\}$

См. также

• Преобразование Радона
• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма
• Формула Крофтона

Ссылки

• Сергей Иванов, Шаблон:YouTube