Оценки Шаудера

Оценки Шаудера — оценки на норму Гёльдера решений линейных равномерно эллиптических уравнений в частных производных.

Получены Юлиушем Шаудером. Эти оценки используются в доказательстве Шаблон:Iw существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в частных производных.

Обозначения

Пусть $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ Суп-норма непрерывной функции $f\in C(\mathrm{\Omega })$ определяется как

$|f{|}_{0;\mathrm{\Omega }}=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(x)|$

Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем $\alpha$, то есть $f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$ обычная полунорма Гёльдера определяется как

$[f{]}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}=\underset{x,y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}.$

Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции $f$

$|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}=|f{|}_{0;\mathrm{\Omega }}+[f{]}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|f(x)|+\underset{x,y\in \mathrm{\Omega }}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}.$

Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными, $C^k(\mathrm{\Omega })$ определяется как

$|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}=\sum _{|\beta |\le k}\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|D^{\beta }u(x)|,$

где $\beta =(i_1,\dots ,i_n)$ обозначает мультииндекс, а $|\beta |=i_1+\dots +i_n$.

Для функций с производными k-го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем $\alpha$, соответствующая полунорма определяется как

$[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}=\underset{\stackrel{x,y\in \mathrm{\Omega }}{|\beta |=k}}{\sup }\frac{|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}$

что дает полную норму

$|u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}+[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}=\sum _{|\beta |\le k}\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|D^{\beta }u(x)|+\underset{\stackrel{x,y\in \mathrm{\Omega }}{|\beta |=k}}{\sup }\frac{|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}.$

Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.

$d_x=d(x,\partial \mathrm{\Omega })$

в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом

$d_{x,y}=\min (d_x,d_y)$

возведённым в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

$|u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{*}=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{*}+[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{*}=\sum _{|\beta |\le k}\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|d_x^{|\beta |}{D}^{\beta }u(x)|+\underset{\stackrel{x,y\in \mathrm{\Omega }}{|\beta |=k}}{\sup }{d}_{x,y}^{k+\alpha }\frac{|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}.$

Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:

$|u{|}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(m)}=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega }}^{(m)}+[u{]}_{k,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(m)}=\sum _{|\beta |\le k}\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|d_x^{|\beta |+m}{D}^{\beta }u(x)|+\underset{\stackrel{x,y\in \mathrm{\Omega }}{|\beta |=k}}{\sup }{d}_{x,y}^{m+k+\alpha }\frac{|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}.$

Формулировка

Внутренняя оценка

Рассмотрим ограниченное решение $u\in C^{2,\alpha }(\mathrm{\Omega })$ в области $\mathrm{\Omega }$ к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

$\sum _{i,j}{a}_{i,j}(x)D_i{D}_{j}u(x)+\sum _i{b}_i(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)$

где исходный член удовлетворяет $f\in C^{\alpha }(\mathrm{\Omega })$. Предположим, что уравнение строго эллиптично, то есть существует постоянная $\lambda >0$ такая что

$\sum a_{i,j}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda |\xi {|}^2$ для всех $x\in \mathrm{\Omega },\xi \in {ℝ}^n,$

а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой $\mathrm{\Lambda }$

$|a_{i,j}{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }},|b_i{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(1)},|c{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}\le \mathrm{\Lambda }.$

Тогда взвешенную $C^{2,\alpha }$-норму u можно оценить через суп-норму u и норму Гёльдера f:

$|u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{*}\le C(n,\alpha ,\lambda ,\mathrm{\Lambda })(|u{|}_{0,\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}^{(2)}).$

Граничные оценки

Пусть $\mathrm{\Omega }$ есть $C^{2,\alpha }$-гладкая область (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как график $C^{2,\alpha }$ функции), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией $\varphi (x)$ что также по крайней мере $C^{2,\alpha }$. Затем с учетом тех же условий на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера для u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u:

$|u{|}_{2,\alpha ;\mathrm{\Omega }}\le C(n,\alpha ,\lambda ,\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Omega })(|u{|}_{0,\mathrm{\Omega }}+|f{|}_{0,\alpha ;\mathrm{\Omega }}+|\varphi {|}_{2,\alpha ;\partial \mathrm{\Omega }}).$

При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.

Литература

• Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448
• Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42
• Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365 MR1669352