Приближение эйконала

В теоретической физике приближение эйконала (греч. Εἰκών для подобия, значка или изображения) или эйкональное приближение представляет собой приближенный метод, полезный в задачах о рассеянии частиц и волн, которые встречаются в оптике, сейсмологии, квантовой механике, квантовой электродинамике и разложении по парциальным волнам.

Качественное описание

Главное преимущество приближения эйконала состоит в том, что уравнения сводятся к дифференциальному уравнению с одной переменной. Это сокращение до одной переменной является результатом приближения эйконала, которое позволяет нам выбрать прямую линию в качестве особого направления.

Связь с приближением ВКБ

Первые шаги, связанные с приближением эйконала в квантовой механике, очень тесно связаны с квазиклассическим приближением (ВКБ) для одномерных волн. Метод ВКБ, как и приближение эйконала, приводит уравнения к дифференциальному уравнению с одной переменной. Но сложность приближения ВКБ состоит в том, что эта переменная описывается траекторией частицы, которая, в общем случае, сложна.

Формальное описание

Используя приближение ВКБ, можно записать волновую функцию рассеянной частицы в терминах действия S:

$\mathrm{\Psi }=e^{iS/\hslash }$

Подставляя волновую функцию Ψ в уравнение Шредингера без наличия магнитного поля, получаем

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }=(E-V)\mathrm{\Psi }$

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2{e}^{iS/\hslash }=(E-V)e^{iS/\hslash }$

$\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }S)}^2-\frac{i\hslash }{2m}{\mathrm{\nabla }}^{2}S=E-V$

Запишем S в виде степенного ряда по ħ

$S=S_0+\frac{\hslash }{i}{S}_1+...$

Для нулевого порядка:

$\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }{S}_0)}^2=E-V$

Если рассматривать одномерный случай, то ${\mathrm{\nabla }}^2\to {{\partial }_z}^2$.

Получаем дифференциальное уравнение с граничным условием :

$\frac{S(z=z_0)}{\hslash }=k{z}_0$

для $V\to 0$, $z\to -\mathrm{\infty }$.

$\frac{d}{dz}\frac{S_0}{\hslash }=\sqrt{k^2-2mV/{\hslash }^2}$

$\frac{S_0(z)}{\hslash }=kz-\frac{m}{{\hslash }^{2}k}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}Vd{z}^{\prime }$

Литература

• Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback
• Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news

Ссылки

• [1] Шаблон:Wayback Приближение Эйконала К. В. Шаджеш, факультет физики и астрономии, Университет Оклахомы