Метрика Леви — Прохорова

Метрика Леви́ — Прохорова (метрика Прохорова) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения Шаблон:Iw (определённой Полем Леви в 1937 году).

Определяется на пространстве $𝒫(M)$ всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве $(M,ℬ(M))$, где $(M,d)$ — метрическое пространство, а $ℬ(M)$ — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества $A\subseteq M$ определяется эпсилон-окрестность $A$ как:

$A^{\epsilon }:=\{p\in M\mid \mathrm{\exists }q\in A,d(p,q)<\epsilon \}=\bigcup _{p\in A}{B}_{\epsilon }(p)$,

где $B_{\epsilon }(p)$ — открытый шар радиусом $\epsilon$ с центром в $p$. Метрика $\pi :𝒫(M{)}^2\to [0,+\mathrm{\infty })$ определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$ как:

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \{\epsilon >0\mid \mathrm{\forall }(A\in ℬ(M))\mu (A)⩽\nu (A^{\epsilon })+\epsilon \wedge \nu (A)⩽\mu (A^{\epsilon })+\epsilon \}$.

Очевидно, что для вероятностных мер $\pi (\mu ,\nu )⩽1$.

Свойства

Если пространство $(M,d)$ является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом, $\pi$ — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на $𝒫(M)$.

Метрическое пространство $(𝒫(M),\pi )$ является сепарабельным тогда и только тогда когда $(M,d)$ сепарабельно.

Если пространство $(𝒫(M),\pi )$ является полным, то $(M,d)$ также является полным пространством. Если у всех мер в $𝒫(M)$ есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если $(M,d)$ — полное, то $(𝒫(M),\pi )$ — полное. В частности, это тот случай, когда $(M,d)$ является сепарабельным.

Если $(M,d)$ — сепарабельное и полное, подмножество $𝒦\subseteq 𝒫(M)$ является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда $\pi$-замыкание является $\pi$-компактным.

Если $(M,d)$ — сепарабельное, то $\pi (\mu ,\nu )=\inf \{\alpha (X,Y)\mid \text{Law}(X)=\mu ,\text{Law}(Y)=\nu \}$, где $\alpha (X,Y)=\inf \{\epsilon >0\mid \mathbb{P}(d(X,Y)>\epsilon )⩽\epsilon \}$ — метрика Цюй Фаня.

Литература

• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга