Сложение векторов

Треугольник сложения произвольных векторов: сумма векторов c = a + b

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложение векторовШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-en), — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторовШаблон:Sfn. При этом сумма $𝐚+𝐛$ двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚+𝐛$, проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Три вектора $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜=𝐚+𝐛$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскостиШаблон:Sfn.

Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим векторомШаблон:Sfn.

Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесёнШаблон:Sfn.

Существуют два действия, обратных сложению векторовШаблон:Sfn:

• геометрическое вычитание векторов;
• геометрическое разложение вектора.

Определение

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́в, — операция нахождения суммы векторов. Обозначается обычным знаком плюсШаблон:Sfn:

$𝐜=𝐚+𝐛.$

Три вектора $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜=𝐚+𝐛$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскостиШаблон:Sfn.

Правило треугольника

Параллельный перенос треугольника сложения произвольных векторов: сумма векторов c = a + b

Сумма $𝐚+𝐛$ любых двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚+𝐛$, проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунок в начале статьи с треугольником сложения векторов)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Такой алгоритм нахождения суммы векторов называется правилом треугольникаШаблон:Sfn.

Следующее равенство, которое доказывается по правилу треугольника, верно для любого вектора $𝐚$ и нулевого вектора $\mathrm{𝟎}$Шаблон:Sfn:

$𝐚+\mathrm{𝟎}=𝐚.$

Теорема 1. Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при изменении его положения треугольник сложения будет параллельно перенесёнШаблон:Sfn. Другими словами, если $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$ и $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{Q^{\prime }{R}^{\prime }}$, то $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{P^{\prime }{R}^{\prime }}$ (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Замечание. Приведённое определение сложения векторов соответствует законам сложения векторных величин в физике (например, сил, которые прикладываются к материальной точке)Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Предостережение. Понятия «сложение векторов» и «сложение отрезков» совершенно разные. Сложение отрезков ставит в соответствие двум отрезкам третий отрезок — сумму отрезков, которая получается откладыванием на одной прямой одного отрезка от другогоШаблон:Sfn.

Замечание. Правило сложения векторов накладывает ограничения на направленные величины, которые можно назвать векторами. Например, вращение вокруг оси на конечный угол можно представить направленным отрезком, который нельзя назвать вектором, потому что два таких вращения вокруг разных осей складываются не по правилу сложения векторов, а более сложным способом. Такой направленный отрезок является тензором. Напротив, бесконечно малые вращения являются векторамиШаблон:Sfn.

Параллельный перенос

Сложение векторов как композиция параллельных переносов

Из определения сложения векторов вытекает, что сумма векторов определяется как сумма, то есть композиция, параллельных переносов. На рисунке справа показано последовательное выполнение двух параллельных переносов. Первый перенос сдвигает точку $P$ в точку $Q$ и отвечает вектору $\overrightarrow{PQ}$, второй перенос сдвигает точку $Q$ в точку $R$ и отвечает вектору $\overrightarrow{QR}$. В результате композиции этих параллельных переносов, то есть их последовательного выполнения, точка $P$ переносится в точку $R$Шаблон:Sfn.

Для других точек $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ и $R^{\prime }$, отображающихся друг в друга при этих же переносах, так что $\overrightarrow{P^{\prime }{Q}^{\prime }}=\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{Q^{\prime }{R}^{\prime }}=\overrightarrow{QR}$, точка $P^{\prime }$ отображается в точку $R^{\prime }$. Поскольку $\mathrm{△}PQR=\mathrm{△}{P}^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }$ по двум сторонам и углу между ними, то отрезки $PR$ и $P^{\prime }{R}^{\prime }$ равны. Эти отрезки также параллельны и направлены в одну сторону, поскольку углы между ними и направленными отрезками $PQ$ и $P{Q}^{\prime }$ равны. Другими словами, результирующие векторы равны: $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{P^{\prime }{R}^{\prime }}$. Итак, отображение исходной фигуры в её окончательное положение обладает тем свойством, что все отрезки, которые соединяют соответствующие точки этих фигур, не только равны, но и параллельны. Поэтому эта композиция параллельных переносов также есть параллельный переносШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Правило трёх точек

Альтернативная формулировка правила треугольника следующая.

Правило трёх точек. Пусть $P$, $Q$ и $R$ — любые точки. Тогда $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ (см. рисунок в начале статьи). Это правило верно для любых трёх точек, например, когда две из них или даже все три совпадают. Кроме того, это правило не требует чертежа, что существенноШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Правило параллелограмма

Параллелограмм сложения неколлинеарных векторов: сумма векторов c = a + b

Сумма $𝐚+𝐛$ двух неколлинеарных векторов $𝐚$ и $𝐛$, отложенных от одной точки, — это третий вектор $𝐜=𝐚+𝐛$, проведённый из общего начала векторов и изображающийся диагональю параллелограмма, построенного на суммируемых векторах (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Такой алгоритм нахождения суммы двух векторов называется правилом параллелограммаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Действие двух неколлинеарных сил на точку физического тела можно заменить действием одной равнодействующей силы, которая определяется по правилу параллелограмма. Если тело участвует в двух неколлинеарных параллельных переносах, то итоговая скорость также определяется по правилу параллелограммаШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Правило середин отрезков

Правило середин отрезков сложения векторов

Правило параллелограмма менее удобно, чем правило треугольника, поскольку правило параллелограмма теряет смысл в случае коллинеарности слагаемых векторов и требует при этом дополнительных разъяснений, тогда как правило треугольника справится в любом случае. Когда же складываемые вектора не коллинеарны, то оба правила по сути одинаковыШаблон:Sfn.

Следующее правило середин отрезков представляет собой альтернативную формулировку правила параллелограмма, но при этом применимо всегда, даже для коллинеарных векторовШаблон:Sfn.

Сумма $𝐚+𝐛$ двух любых векторов $\overrightarrow{PQ}=𝐚$ и $\overrightarrow{PS}=𝐛$, отложенных от одной точки, — это третий вектор $\overrightarrow{PR}=𝐚+𝐛$, проведённый из общего начала векторов такой, что середины отрезков $PR$ и $QS$ совпадают (см. рисунок справа для неколлинеарных векторов)Шаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Сложение коллинеарных векторов: слева — сонаправленных, справа —— противоположно направленных

Коллинеарные векторы

Сумма векторов в случае параллельных векторов следующаяШаблон:Sfn:

• если два вектора направлены одинаково, то сумма двух векторов есть вектор, сонаправленный с суммируемыми векторами, и его модуль равен сумме модулей векторов-слагаемых (см. рисунок справа, левая часть);
• если два вектора противоположно направлены, то сумма двух векторов есть вектор, сонаправленный с большим вектором, и его модуль равен модулю разности модулей векторов-слагаемых (см. рисунок справа, правая часть).

Сложение более чем двух векторов

Правило многоугольника

Многоугольник сложения четырёх векторов: сумма векторов a + b + c + d

Сложение более чем двух векторов осуществляется последовательно, по шагам (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

• сначала к первому вектору $𝐚$ прибавляется второй вектор $𝐛$;
• затем к сумме первых двух векторов $𝐚+𝐛$ прибавляется третий вектор $𝐜$;
• потом к полученной сумме первых трёх векторов $(𝐚+𝐛)+𝐜$ прибавляется четвёртый вектор $𝐝$:

$((𝐚+𝐛)+𝐜)+𝐝$;

• и так далее.

Отсюда получается следующее алгоритмическое правило для сложения более чем двух векторовШаблон:Sfn.

Правило многоугольника. Сумма более чем двух векторов — вектор, который соединяет начало первого вектора с концом последнего вектора, причём начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущегоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Это правило справедливо для любых векторов, в частности, когда некоторые из них равны нулевому вектору. Например, в случае, когда начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, сумма всех данных векторов равна нулевому векторуШаблон:Sfn.

При последовательном, по шагам сложении векторов скобки можно опуститьШаблон:Sfn:

$(((𝐚+𝐛)+𝐜)+\cdots )+𝐠=𝐚+𝐛+𝐜+\cdots +𝐠.$

Правило четырёх и более точек

Альтернативная формулировка правила многоугольника следующая.

Правило четырёх точек. Пусть $P$, $Q$, $R$ и $S$ — любые точки. Тогда $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{PS}$. Это правило верно для любых четырёх точек. Кроме того, это правило не требует чертежа, что существенно. Это же правило, соответственно переформулированное, справедливо и для любого числа точек, больших четырёхШаблон:Sfn.

Замкнутая ломаная, составленная из векторов

Замыкающая

Замыкающая — сумма всех данных векторов. Другими словами, замыкающая — это сумма векторов, взятая по правилу многоугольника. Например, $𝐞=𝐚+𝐛+𝐜+𝐝$ (см. рисунок в разделе Правило многоугольника)Шаблон:Sfn.

Правило многоугольника можно назвать также правилом замыкающего вектораШаблон:Sfn.

Имеет место следующее условие замкнутости векторного многоугольника. Пусть дано несколько векторов $𝐚,𝐛,𝐜,\dots ,𝐠$. Отложим эти векторы по правилу многоугольника, когда начало последующего вектора совпадает с началом предыдущего (см. рисунок в разделе Правило многоугольника). В итоге получится ломаная, составленная из векторов $𝐚,𝐛,𝐜,\dots ,𝐠$ (не обязательно выпуклая, и даже имеющая самопересечение). Эта ломаная из векторов замкнута, то есть конец последнего вектора совпадает с началом первого, тогда и только тогда, когда сумма всех данных векторов равна нулевому векторуШаблон:Sfn:

$𝐞=𝐚+𝐛+𝐜+\cdots +𝐠=\mathrm{𝟎}$.

Параллелепипед сложения некомпланарных векторов: сумма векторов d = a + b + c

Правило параллелепипеда

Теорема 2. Сумма $𝐚+𝐛+𝐜$ трёх некомпланарных векторов $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$, отложенных от одной точки, — это четвёртый вектор $𝐝=𝐚+𝐛+𝐜$, проведённый из общего начала векторов и изображающийся диагональю параллелепипеда, построенного на суммируемых векторах (см. рисунок справа с параллелепипедом сложения векторов)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Доказательство 1. Утверждение теоремы следует из того, чтоШаблон:Sfn:

$\overrightarrow{PW}=\overrightarrow{PT}+𝐜,\overrightarrow{PT}=𝐚+𝐛.$

Доказательство 2. Утверждение теоремы следует из того, что вектор $\overrightarrow{PW}$ есть замыкающий вектор трёх векторов $\overrightarrow{PS}=𝐚,$ $\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{PQ}=𝐛,$ $\overrightarrow{TW}=\overrightarrow{PR}=𝐜$Шаблон:Sfn.

Такой алгоритм нахождения геометрической суммы трёх векторов называется правилом параллелепипеда. К компланарным векторам, то есть к векторам, лежащим в одной плоскости, это правило построения неприменимоШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Модуль суммы

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенства треугольника: модуль суммы двух векторов не больше суммы модулей слагаемых векторов и не меньше их разности (см. любой рисунок с неколлинеарными векторами)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$|𝐚+𝐛|⩽|𝐚|+|𝐛|,|𝐚+𝐛|⩾|𝐚|-|𝐛|,|𝐚+𝐛|⩾|𝐛|-|𝐚|.$

Иногда встречается немного другая записьШаблон:Sfn:

$|𝐚+𝐛|⩾||𝐚|-|𝐛||,|𝐚+𝐛|⩾||𝐛|-|𝐚||$

Знак равенства в неравенстве треугольника присутствует тогда и только тогда, когдаШаблон:Sfn:

• оба вектора сонаправлены;
• в частности, один из векторов равен нулю.

В случае коллинеарных векторов (см. любой рисунок с коллинеарными векторами)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• если два вектора направлены одинаково, то модуль суммы двух векторов равен сумме модулей слагаемых векторов:

$|𝐚+𝐛|=|𝐚|+|𝐛|;$

• если два вектора противоположно направлены, то модуль суммы двух векторов равен разности модулей слагаемых векторов, причём из большего модуля вычитается меньший:

$|𝐚+𝐛|=|𝐚|-|𝐛|,|𝐚|⩾|𝐛|,$

$|𝐚+𝐛|=|𝐛|-|𝐚|,|𝐛|⩾|𝐚|.$

Иногда встречается немного другая записьШаблон:Sfn:

$|𝐚+𝐛|=||𝐚|-|𝐛||.$

Это неравенство треугольника верно и для произвольного количества векторовШаблон:Sfn:

$|𝐚+𝐛+𝐜+\cdots +𝐠|⩽|𝐚|+|𝐛|+|𝐜|+\cdots +|𝐠|$.

Законы сложения

Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именноШаблон:Sfn:

• сочетательный закон (ассоциативность);
• переместительный закон (коммутативность).

Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторовШаблон:Sfn.

Ассоциативность:
(a + b) + c = a + (b + c)

Сочетательный закон

Теорема 3. Сочетательный закон. При замене любой группы последовательных слагаемых векторов их суммой общая сумма всех складываемых векторов не меняетсяШаблон:Sfn.

В случае трёх складываемых векторов этот закон выражается следующей формулой (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$(𝐚+𝐛)+𝐜=𝐚+(𝐛+𝐜)$.

Коммутативность:
a + b = b + a

Переместительный закон

Теорема 4. Переместительный закон. От перестановки слагаемых векторов сумма не меняетсяШаблон:Sfn.

В случае двух складываемых векторов этот закон выражается следующей формулой (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚+𝐛=𝐛+𝐚$.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H