Замена вероятностной меры

Замена вероятностной меры (Change measure) - применяемая в стохастической финансовой математике процедура изменения вероятностной меры относительно которой рассматриваются случайные процессы с целью получения иных (возможно более удобных с для практических целей) формул оценки стоимости финансовых инструментов или иных их характеристик.

Замена вероятностной меры основана на теоремах Радона-Никодима, теореме Гирсанова, а также на обобщенной формуле Байеса для условных математических ожиданий.

Теория арбитражного ценообразования в первую очередь предполагает замену физической вероятностной меры на риск-нейтральную меру. Во многих случаях удобным оказывается замена последней на форвардную меру. Могут применяться также иные меры, например, своп-мера.

Чаще всего использование той или иной меры связано с тем что в соответствующей мере некоторый интересующий процесс является мартингалом, а значит наилучшей оценкой будущего ожидаемого значения (ожидаемого в этой мере) равно текущему значению процесса.

Производная Радона-Никодима и формула Байеса

В теории вероятностей вероятностная мера определяется аксиоматически, соответственно на одном и том же пространстве событий могут быть определены потенциально разные вероятностные меры. В теории меры используется понятие абсолютной непрерывности одной меры относительно другой и более сильное понятие взаимной абсолютной непрерывности мер - эквивалентность мер. Меры называются эквивалентными, если любое событие нулевой меры в одной из них имеет нулевое значение и в другой мере.

Теорема Радона-Никодима утверждает, что для таких мер существует случайная величина, с помощью которой можно перейти от одной меры к другой. Такая случайная величина Z называется производной Радона-Никодима и ее удобно обозначать по аналогии с обычными производными как $\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$. При таком обозначении очевидным становится равенство, которое собственно и представляет собой определение производной Радона-Никодима:

$\mathbb{Q}(A)=\underset{A}{\int }\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}d\mathbb{P}=\underset{A}{\int }Zd\mathbb{P}$

В случае именно вероятностных мер производная Радона-Никодима предполагается нормализованной в том смысле, что ее математическое ожидание в "старой" мере должно быть равно единице, так как это равно значению "новой" меры всего пространства событий, что по определению должно быть равно единице.

Отсюда несложно также видеть как связано математическое ожидание в одной мере с математическим ожиданием в другой

${𝔼}^{\mathbb{Q}}(X)=\int ZXd\mathbb{P}={𝔼}^{\mathbb{P}}(ZX)$

Можно показать, что в случае условных математических ожиданий выполнено равенство (собственно обобщенная формула Байеса)

${𝔼}_{ℱ}^{\mathbb{Q}}(X)=\frac{{𝔼}_{ℱ}^{\mathbb{P}}(ZX)}{{𝔼}_{ℱ}^{\mathbb{P}}(Z)}$

Для случайных процессов предполагается заданным не только вероятностное пространство, но и фильтрация событий - поток сигма алгебр ${ℱ}_t$, "вложенных" в полную сигма-алгебру событий. В финансовой теории эти сигма-алгебры интерпретируются как "информация доступная к данному моменту". Относительно этой "информации" могут рассматриваться условные математические ожидания будущих значений случайных процессов.

Учитывая общую формулу Байеса можно записать следующую формулу

${𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(X_T)=\frac{{𝔼}_t^{\mathbb{P}}(Z_T{X}_T)}{z_t}={𝔼}_t^{\mathbb{P}}(\frac{Z_T}{z_t}{X}_T)$ , где $z_t={𝔼}_t^{\mathbb{P}}(Z_T)$ - так называемый процесс плотности

Формула замены эквивалентных мартингальных мер

Пусть $V$ - процесс стоимости актива, и даны два процесса $A$ и $B$, такие что отношения $V/A$ и $V/B$ являются мартингалами соответственно в мере $Q^A$ и $Q^B$ (такие меры называют мартингальными). Это означает, что

$\frac{V_t}{A_t}={𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^A}(\frac{V_T}{A_T})$ и $\frac{V_t}{B_t}={𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^B}(\frac{V_T}{B_T})$

Но поскольку текущая стоимость актива одна и та же и не зависит от меры, то отсюда получаем формулу связи условных математических ожиданий в таких мерах

${𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^A}(\frac{V_T}{A_T})=\frac{B_t}{A_t}{𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^B}(\frac{V_T}{B_T})={𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^B}(\frac{B_t{A}_T}{A_t{B}_T}\frac{V_T}{A_T})$

Это по существу и есть формула замены мартингальных мер. Также полезно получить отсюда выражение для процесса плотности. Учитывая формулу замены меры для случайных процессов из этой формулы следует, что в данном случае для процесса плотности имеет место равенство

$\frac{Z_T}{Z_t}=\frac{B_t{A}_T}{A_t{B}_T}=\frac{A_T/B_T}{A_t/B_t}$

Отсюда следует, что процесс плотности $Z_t$ пропорционален процессу $A_t/B_t$, а поскольку процесс плотности в нулевой момент времени должен быть равен единице, то этот коэффициент пропорциональности должен быть равен обратной величине этого процесса в нулевой момент времени:

$Z_t=\frac{A_t/B_t}{A_0/B_0}$

Замена меры в дифференциальном представлении процессов

При замене меры в соответствии с теоремой Гирсанова в представлении стохастического процесса в дифференциальной форме меняется дрифт - трендовая составляющая - на величину, равную взятому с обратным знаком произведению волатильности процесса на волатильность процесса плотности. То есть если исходный процесс в мере ${\mathbb{Q}}^A$ имеет вид

$d{X}_t={\mu }_t(X_t)dt+{\mathit{\sigma }}_t^T(X_t)d{𝑾}_t^{{\mathbb{Q}}^A}$

то в мере ${\mathbb{Q}}^B$ процесс имеет вид:

$d{X}_t=[{\mu }_t(X_t)-{\mathit{\lambda }}_t^T{\mathit{\sigma }}_t(X_t)]dt+{\mathit{\sigma }}_t(X_t)d{𝑾}_t^{{\mathbb{Q}}^B}$

где ${\mathit{\lambda }}_t^T$ - процесс волатильности для процесса плотности $z_t$ замены мер:

$d{z}_t=-z_t{\mathit{\lambda }}_t^{T}d{𝑾}_t^{{\mathbb{Q}}^A}$

Примеры замены мер

Замена риск-нейтральной меры на форвардную

В риск-нейтральной мере базой стоимости (numeraire) является банковский счет, а в форвардной мере - бескупонная облигация. Согласно общей формуле замены меры имеем

${𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}(V_T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(\frac{B_{t}P(T,T)}{B_{T}P(t,T)}{V}_T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(\frac{D(t,T)}{P(t,T)}{V}_T)$

Учитывая, что процесс стоимости дисконтной облигации $P(t,T)={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}[D(t,T)]$ является фактически t-измеримым случайным процессом, то его можно вынести за знак математического ожидания и тогда получаем следующую формулу

$V_t={𝔼}_t^{\mathbb{Q}}(D(t,T)V_T)=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}(V_T)$

Первая формула- формула оценки в риск-нейтральной мере, вторая - в форвардной мере.

Процесс плотности в данном случае $z_t\sim P(t,T)/B(t)$ в дифференциальной форме имеет вид $dz/z={\sigma }_p(t,T)d{W}_t^{\mathbb{Q}}$ где $\lambda ={\sigma }_p(t,T)$ - процесс волатильности дисконтной облигации.

Замены между форвардными мерами различной срочности

Процесс плотности в данном случае $z_t\sim P(t,T)/P(t,S)$ в дифференциальной форме имеет вид $dz/z=[{\sigma }_p(t,T)-{\sigma }_p(t,S)]d{W}_t^{{\mathbb{Q}}^T}$.

Используя общую формулу замены мер можно записать следующую формулу при $T<S$:

${𝔼}_t^T(X_T)={𝔼}_t^S\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}\frac{P(T,T)}{P(T,S)}{X}_T\right]=\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{𝔼}_t^S\left[\frac{X_T}{P(T,S)}\right]$

Если подставить в эту формулу вместо $X_T$ величину $P(T,S)X_T$, получим

${𝔼}_t^T(P(T,S)X_T)=\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{𝔼}_t^S\left[X_T\right]$

Следовательно

${𝔼}_t^S\left[X_T\right]=\frac{P(t,T)}{P(t,S)}{𝔼}_t^T(P(T,S)X_T)$

Соответственно, если внутри математического ожидания использовать замену $P(S,T)$ на $1/P(T,S)$ при необходимости, то независимо от того, $T<S$ или $T>S$ можно использовать формулу

${𝔼}_t^T(X_T)=\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{𝔼}_t^S\left[\frac{X_T}{P(T,S)}\right]$

Из этого следует общая формула оценки случайного будущего платежа в произвольной форвардной мере

$V_t=P(t,S){𝔼}_t^S\left[\frac{V_T}{P(T,S)}\right]$

И в частности, если T=S знаменатель становится равным единице и получаем классическую формулу оценки в собственной форвардной мере.

Также можно показать, что в вышеприведенную формулу также можно записать и заменив $P(T,S)$ на $D(T,S)$

$V_t=P(t,S){𝔼}_t^S\left[\frac{V_T}{D(T,S)}\right]$

См. также

• Риск-нейтральная мера
• Форвардная мера
• Теорема Гирсанова