Теорема Гирсанова

Теорема Гирсанова (иногда Теорема CMG по фамилиям авторов — Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3, Girsanov) — применяемая в стохастической финансовой математике теорема, позволяющая определить изменение стохастического дифференциального уравнения, описывающего некоторый процесс, при изменении вероятностной меры, в которой этот процесс представляется. Теорема также определяет конкретный вид так называемого процесса плотности, связанного с производной Радона — Никодима — производной одной меры по другой. При замене вероятностной меры изменяется трендовая составляющая процессов, а «стохастическая» часть («волатильность») остается неизменной.

Результаты такого рода были впервые доказаны Кэмероном и Мартином в 1940-х годах и И. В. Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, кульминацией которых стала общая форма Э. Ланглара, полученная в 1977 году.

Базовая формулировка теоремы

Одномерный случай

Пусть $W_t$ — винеровский процесс в данной мере $\mathbb{P}$. Тогда процесс (в дифференциальной форме)

$d{W}_t^{*}=d{W}_t+{\lambda }_{t}dt$

является винеровским процессом в мере ${\mathbb{P}}^{\mathbb{*}}$, эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности $z_t={𝔼}_t^{\mathbb{P}}\left(\frac{d{\mathbb{P}}^{\mathbb{*}}}{d\mathbb{P}}\right)$ следующего вида (в дифференциальной форме):

$d{z}_t=-z_t{\lambda }_{t}d{W}_t$

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента или Шаблон:Нп3):

$z_t=e^{-1/2{\int }_0^t{\lambda }_s^{2}ds-\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\lambda }_{s}d{W}_s}=ℰ(-\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\lambda }_{s}d{W}_s)$

Важным условием справедливости теоремы является так называемое Шаблон:Нп3:

$𝔼\left(e^{1/2{\int }_0^t{\lambda }_s^{2}ds}\right)<\mathrm{\infty }$

Многомерный случай

Пусть ${𝑾}_t$ — вектор независимых винеровских процессов в данной мере $\mathbb{P}$. Тогда процесс (в дифференциальной форме)

$d{𝑾}_t^{*}=d{𝑾}_t+{\mathit{\lambda }}_{t}dt$

является винеровским процессом в мере ${\mathbb{P}}^{\mathbb{*}}$, эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности $z_t={𝔼}_t^{\mathbb{P}}\left(\frac{d{\mathbb{P}}^{\mathbb{*}}}{d\mathbb{P}}\right)$ следующего вида (в дифференциальной форме):

$d{z}_t=-z_t{\mathit{\lambda }}_t^{T}d{𝑾}_t$

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента):

$z_t=e^{-1/2{\int }_0^t{\mathit{\lambda }}_s^T{\mathit{\lambda }}_{s}ds-\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathit{\lambda }}_s^{T}d{𝑾}_s}=ℰ(-\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathit{\lambda }}_s^{T}d{𝑾}_s)$

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова:

$𝔼\left(e^{1/2{\int }_0^t{\mathit{\lambda }}_s^T{\mathit{\lambda }}_{s}ds}\right)<\mathrm{\infty }$

Следствие для стохастических процессов общего вида

Пусть в данной мере задан стохастический процесс $X_t$ следующего вида (в дифференциальной форме):

$d{X}_t=\mu (X_t)dt+\sigma (X_t)d{W}_t$

где $\mu$ — некоторая функция, определяющая трендовую (дрифт) составляющую процесса. Тогда при замене вероятностной меры данный процесс можно записать с помощью другой функции для трендовой составляющей ${\mu }^{*}(x)$ следующим образом:

$d{X}_t={\mu }^{*}(X_t)dt+\sigma (X_t)d{W}_t^{*}$

где процесс $W_t^{*}$, является винеровским процессом в новой мере и определяется как указано в исходной формулировке теоремы Гирсанова: $d{W}_t^{*}=d{W}_t+{\lambda }_{t}dt$, где

${\lambda }_t=\frac{{\mu }^{*}(X_t)-\mu (X_t)}{\sigma (X_t)}$

Процесс плотности для соответствующих мер определяется аналогично исходной формулировке теоремы с учетом данного обозначения.

Если исходно начинать с некоторого процесса ${\lambda }_t$, то по существу преобразование исходного стохастического дифференциального представления процесса $X_t$ имеет вид:

$d{X}_t=\mu (X_t)dt+\sigma (X_t)d{W}_t=(\mu (X_t)-\sigma (X_t){\lambda }_t)dt+\sigma (X_t)(d{W}_t+{\lambda }_{t}dt)$

Для того, чтобы данная запись была стандартной дифференциальной записью стохастического процесса необходимо чтобы процесс $W_t^{*}$, определенный в дифференциальной форме как $d{W}_t^{*}=d{W}_t+{\lambda }_{t}dt$ был винеровским процессом. Теорема Гирсанова утверждает, что такой процесс является винеровским в другой вероятностной мере (эквивалентной исходной), заданной процессом плотности вышеуказанного вида.

См. также

• Замена вероятностной меры
• Риск-нейтральная мера
• Форвардная мера
• Шаблон:Нп3