Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.

Формулировка

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой. Предположим, что $\mu$ — $\sigma$-конечна. Если мера $\nu :ℱ\to ℝ$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ $(\nu \ll \mu )$, то существует измеримая функция $f:X\to ℝ$, такая что

$\nu (A)=\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx),\mathrm{\forall }A\in ℱ,$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Другими словами, если вещественнозначная функция $A\mapsto \nu (A)$ обладает свойствами:

1. $\nu$ определена на борелевской алгебре $S_{\mu }$.
2. $\nu$ аддитивна; то есть, для любого разложения $A=\bigcup _n{A}_n$ множества $A\in S_{\mu }$ на попарно непересекающиеся множества $A_n\in S_{\mu }$ выполняется равенство

   $\nu (A)=\sum _n\nu (A_n)$

3. $\nu$ абсолютно непрерывна; то есть, из $\mu (A)=0$ вытекает $\nu (A)=0$.

то она представима в виде

$\nu (A)=\underset{A}{\int }f(x)d\mu ,$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция $f$, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры $\nu$ относительно меры $\mu$. Пишут:

  $f=\frac{d\nu }{d\mu }.$

  • Если $(X,ℱ)=({ℝ}^k,ℬ({ℝ}^k))$ — $k$-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $\nu ={\mathbb{P}}^X$ — распределение некоторой случайной величины $X$, а $\mu =m$ — мера Лебега на ${ℝ}^k$, то производная Радона — Никодима меры ${\mathbb{P}}^X$ относительно меры $m$ называется плотностью распределения случайной величины $X$.

Свойства

• Пусть $\lambda ,\mu ,\nu$ — $\sigma$-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $(X,ℱ)$. Тогда если $\mu \ll \lambda$ и $\nu \ll \lambda$, то

$\frac{d(\mu +\nu )}{d\lambda }=\frac{d\mu }{d\lambda }+\frac{d\nu }{d\lambda }.$

• Пусть $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тогда

$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }$ выполнено $\lambda$-почти всюду.

• Пусть $\mu \ll \lambda$ и $g:X\to ℝ$ — измеримая функция, интегрируемая относительно меры $\mu$, то

$\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }g(x)\frac{d\mu }{d\lambda }(x)\lambda (dx).$

• Пусть $\mu \ll \nu$ и $\nu \ll \mu$. Тогда

$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}.$

• Пусть $\nu$ — заряд. Тогда

$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$

Применение

Теорема и соответствующая производная Радона — Никодима широко используется в стохастической финансовой математике в процедурах замены вероятностной меры для стохастических процессов динамики цен финансовых и других активов и процентных ставок. В частности, стандартным является переход от риск-нейтральной меры к физической (натуральной) вероятностной мере.

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.