Вторичное квантование

Втори́чное квантова́ние (каноническое квантование) — метод описания многочастичных квантовомеханических систем. Наиболее часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в многочастичных задачах физики конденсированных сред.

Описание

Предположим, что существует классификация всех возможных состояний каждой частицы или квазичастицы в рассматриваемой системе. Обозначим состояния частицы как $1,2,3,...$. Тогда любое возможное состояние системы описывается набором чисел частиц (чисел заполнения) в каждом из этих состояний $(N_1,N_2,N_3,...)$. Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным (в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным (в задачах КТП). Переходы между различными состояниями (например, из состояния $k$ в состояние $q$) одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции на единицу $(N_k\Rightarrow N_k-1)$, и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу $(N_q\Rightarrow N_q+1)$. Вероятности этих процессов зависят не только от элементарной вероятности перехода, но и от чисел заполнения, участвующих в процессе состояний.

Статистика Бозе — Эйнштейна

Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, вероятность перехода из состояния $k$ в состояние $q$ есть $W(k,q)=w(k,q)N_k(N_q+1)$, где $w(k,q)$ — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики. Операторы, изменяющие числа заполнения состояний на единицу, работают так же как операторы рождения и уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

$[{\hat{a}}_i,{\hat{a}}_j^{†}]={\delta }_{ij},[{\hat{a}}_i,{\hat{a}}_j]=0,$

где квадратные скобки означают коммутатор, а ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера.

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨N_i|a_i^{†}|N_i-1⟩={⟨N_i-1|a_i|N_i⟩}^{*}=\sqrt{N_i}$.

Оператор рождения ${\hat{a}}_i^{†}$ так называется потому, что он увеличивает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat{a}}_i^{†}\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,N_i,...)=\sqrt{N_i+1}\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,N_i+1,...)$

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨N_i-1|a_i|N_i⟩=\sqrt{N_i}$.

Оператор уничтожения ${\hat{a}}_i$ так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat{a}}_i\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,N_i,...)=\sqrt{N_i}\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,N_i-1,...)$

Статистика Ферми-Дирака

Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, вероятность перехода из состояния $k$ в состояние $q$ есть $W(k,q)=w(k,q)N_k(1-N_q)$, где $w(k,q)$ — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики, а $N_k,N_q$ могут принимать значения только $0,1$. Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

$\{{\hat{a}}_i,{\hat{a}}_j^{†}\}={\hat{a}}_i{\hat{a}}_j^{†}+{\hat{a}}_j^{†}{\hat{a}}_i={\delta }_{ij},\{{\hat{a}}_i,{\hat{a}}_j\}=0.$

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨1_i|a_i^{†}|0_i⟩={⟨0_i|a_i|1_i⟩}^{*}=(-1{)}^{\sum _{k=1}^{i-1}{N}_k}$.

Оператор рождения ${\hat{a}}_i^{†}$ так называется потому, что он увеличивает c 0 до 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat{a}}_i^{†}\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,0_i,...)=\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,1_i,...)$

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨0_i|a_i|1_i⟩=(-1{)}^{\sum _{k=1}^{i-1}{N}_k}$.

Оператор уничтожения ${\hat{a}}_i$ так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\hat{a}}_i\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,1_i,...)=\mathrm{\Phi }(N_1,N_2,...,0_i,...)$

Применения

Задачи по переходам квантовых частиц с различных состояний, физика лазеров, теория комбинационного рассеяния света, физика твердого тела, теория турбулентности жидкости, газа, плазмы.

См. также

• Нерешённые проблемы современной физики
• Алгебра Грассмана
• Операторы рождения и уничтожения

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Ю. А. Неретин. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя.