Тождество (математика)

То́ждество (в математике) — равенство двух выражений, выполняющееся на всём множестве допустимых значений, входящих в эти выражения переменныхШаблон:Sfn. Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается вместо знака равенства символом «≡», который ввёл немецкий математик Бернхард Риман в 1857 году.

Примеры:

$a^2-b^2\equiv (a+b)(a-b)$

$(a+b{)}^2\equiv a^2+2ab+b^2$

Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; например: $25^2\equiv 625.$

Не любое равенство является тождеством. Например, равенство $x+2=5$ имеет место не при всяком значении $x$, а только при $x=3$. Поэтому оно не является тождеством. Кроме того, равенство может выполняться, например, при положительных значениях переменных и не выполняться (или не иметь смысла) при отрицательных, см. об этом следующий раздел.

Тождественность на заданном множестве

В тех случаях, когда тождество выполняется не для всех возможных значений переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве.

Примеры:

• выражение $\frac{a^2}{a}\equiv a$ тождественно при $a\ne 0$.
• выражение $\sqrt{ab}\equiv \sqrt{a}\sqrt{b}$ тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
• выражение $a^2-b^2\equiv (a+b)(a-b)$ тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: $ab\ne ba$.

См. также

• Логарифмические тождества
• Отношение эквивалентности
• Список математических тождеств
• Уравнение

Литература

• Шаблон:Книга