Логарифмические тождества

Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.

Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.

Алгебраические тождества

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

$a^{{\log }_{a}b}=b$

Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

${\log }_{a}1=0$

${\log }_{a}a=1$

${\log }_a{a}^b=b$

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

Сводка тождествШаблон:Sfn:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)$	${\log }_3(243)={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_3(9)+{\log }_3(27)=2+3=5$
Частное от деления	${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a(x)-{\log }_a(y)$	$\lg \left(\frac{1}{1000}\right)=\lg (1)-\lg (1000)=0-3=-3$
Степень	${\log }_a(x^p)=p{\log }_a(x)$	${\log }_2(64)={\log }_2(2^6)=6{\log }_2(2)=6$	Шаблон:Hider
Степень в основании	${\log }_{(a^p)}(x)=\frac{1}{p}{\log }_a(x)=\frac{{\log }_a(x)}{p}$	${\log }_{2^{10}}\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{{\log }_2\frac{1}{2}}{10}=-\frac{1}{10}=-0.1$	Шаблон:Hider
Корень	${\log }_a\sqrt[p]{(x)}=\frac{1}{p}{\log }_a(x)=\frac{{\log }_a(x)}{p}$	$\lg \sqrt{1000}=\frac{1}{2}\lg 1000=\frac{3}{2}=1.5$	Шаблон:Hider
Корень в основании	${\log }_{\sqrt[p]{a}}(x)=p{\log }_a(x)$	${\log }_{\sqrt{\pi }}(4\cdot \arctan 1)=2\cdot {\log }_{\pi }(4\cdot \frac{\pi }{4})=2\cdot {\log }_{\pi }(\pi )=2$	Шаблон:Hider

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

${\log }_a|xy|={\log }_a|x|+{\log }_a|y|$

${\log }_a\left|\frac{x}{y}\right|={\log }_a|x|-{\log }_a|y|$

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

${\log }_a(x_1{x}_2\dots x_n)={\log }_a(x_1)+{\log }_a(x_2)+\dots +{\log }_a(x_n)$

${\log }_a|x_1{x}_2\dots x_n|={\log }_a|x_1|+{\log }_a|x_2|+\dots +{\log }_a|x_n|$

Логарифм суммы и разности

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

${\log }_a(b+c)={\log }_{a}b+{\log }_a(1+\frac{c}{b})$

${\log }_a(b-c)={\log }_{a}b+{\log }_a(1-\frac{c}{b}),$ здесь $b>c$

Обобщение:

${\log }_a\sum _{k=1}^N{b}_k={\log }_a{b}_1+{\log }_a(1+\sum _{k=2}^N\frac{b_k}{b_1})={\log }_a{b}_1+{\log }_a(1+\sum _{k=2}^N{a}^{({\log }_a{b}_k-{\log }_a{b}_1)})$

Замена основания логарифма

Логарифм ${\log }_{a}b$ по основанию $a$ можно преобразоватьШаблон:Sfn в логарифм по другому основанию $c$:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Следствие (при $b=c$) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

Другие тождества

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

${{\log }_{a^q}b}^p=\frac{p}{q}{\log }_{a}b$

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание $a^q$ на $a$ по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b;{\log }_{\sqrt[n]{a}}b=n{\log }_{a}b;{\log }_{a^k}{b}^k={\log }_{a}b$

Ещё одно полезное тождество:

$c^{{\log }_{a}b}=b^{{\log }_{a}c}$

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию $a$ совпадают (равны ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{a}c$), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию $d,$ получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

${\log }_{a}b\cdot {\log }_{d}c={\log }_{d}b\cdot {\log }_{a}c$

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

${\log }_{a}x\cdot {\log }_{b}y\cdot {\log }_{c}z\cdot {\log }_{d}w={\log }_{b}x\cdot {\log }_{d}y\cdot {\log }_{c}z\cdot {\log }_{a}w$

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

$x^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}x}}=b$

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию $x.$

${\log }_{xy}a=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{x}a}+\frac{1}{{\log }_{y}a}}$

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

$\frac{1}{{\log }_{x}a}={\log }_{a}x;\frac{1}{{\log }_{y}a}={\log }_{a}y;\frac{1}{{\log }_a(xy)}={\log }_{xy}a$

Аналитические тождества

Предельные соотношения

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмамиШаблон:Sfn:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+x)}{x}={\log }_{a}e=\frac{1}{\ln a}$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^b{\log }_{a}x=0(b>0)$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\log }_{a}x}{x^b}=0(b>0)$

$\ln x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\sqrt[n]{x}-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}})$

$\ln x=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^h-1}{h}$

Производная и интеграл

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},$

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln a}=\frac{{\log }_{a}e}{x}$

Определение логарифма через определённый интеграл:

$\ln x={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$

Первообразная для логарифма:

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

$\int \ln xdx=x(\ln x-1)+C$

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим $H_{n}n-$е по порядку гармоническое число:

$H_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}$

Далее обозначим:

$x^{\left[0\right]}=\ln x$

$x^{\left[n\right]}=x^n(\ln x-H_n);$ ($n=1,2,3\dots$)

Мы получаем последовательность функций:

$x^{\left[1\right]}=x\ln x-x$

$x^{\left[2\right]}=x^2\ln x-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}{x}^2$

$x^{\left[3\right]}=x^3\ln x-\begin{array}{c}\frac{11}{6}\end{array}{x}^3$

Шаблон:Итд Тогда имеют место тождества:

$\frac{d}{dx}{x}^{\left[n\right]}=n{x}^{[n-1]};$ ($n=1,2,3\dots$)

$\int x^{\left[n\right]}dx=\frac{x^{[n+1]}}{n+1}+C;$ ($n=0,1,2,3\dots$)

Литература

• Шаблон:Книга
  • Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld