Параболическая система координат

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты $(\sigma ,\tau )$ определяются выражениями

$\{\begin{array}{c}x=\sigma \tau \\ y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\end{array}$

Поверхности постоянной $\sigma$ являются конфокальными параболами

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

расширяющимися вверх (вдоль луча $+y$), а поверхности постоянной $\tau$ — это конфокальные параболы

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

расширяющиеся вниз (вдоль луча $-y$). Фокусы всех парабол расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

$H_{\sigma }=H_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}.$

Таким образом, элемент площади равен

$dS=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau ,$

а лапласиан равен

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2}).$

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует $\tau =2$, синий параболоид соответствует $\sigma =1$, а жёлтая полуплоскость соответствует $\phi =-60^{\circ }$. Три поверхности пересекаются в точке $P$ (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно $(1,0;-1,732;1,5)$.

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость $XY$ вдоль оси $z$ и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

$\{\begin{array}{c}x=\sigma \tau \cos \phi ,\\ y=\sigma \tau \sin \phi ,\\ z=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2).\end{array}$

Ось параболоидов совпадает с осью $z$, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол $\phi$ определяется как

$\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{y}{x}.$

Поверхности постоянной $\sigma$ являются конфокальными параболоидами

$2z=\frac{x^2+y^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

направленными вверх (вдоль луча $+z$), а поверхности постоянной $\tau$ — это конфокальные параболоиды

$2z=-\frac{x^2+y^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

направленные вниз (вдоль луча $-z$). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

$H_{\sigma }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2},$

$H_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2},$

$H_{\phi }=\sigma \tau .$

Как видно, коэффициенты $H_{\sigma }$ и $H_{\tau }$ совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{\phi }=\sigma \tau ({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau d\phi ,$

а лапласиан равен

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\phi }^2}.$

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Символы Кристоффеля второго рода:

${\mathrm{\Gamma }}_{11}^1={\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{21}^2=-{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=\frac{\sigma }{{\sigma }^2+{\tau }^2},$

${\mathrm{\Gamma }}_{22}^2={\mathrm{\Gamma }}_{12}^1={\mathrm{\Gamma }}_{21}^1=-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2=\frac{\tau }{{\sigma }^2+{\tau }^2},$

${\mathrm{\Gamma }}_{23}^3={\mathrm{\Gamma }}_{32}^3=\frac{1}{\tau },{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-\frac{\sigma {\tau }^2}{{\sigma }^2+{\tau }^2},{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\frac{{\sigma }^2\tau }{{\sigma }^2+{\tau }^2},{\mathrm{\Gamma }}_{13}^3={\mathrm{\Gamma }}_{31}^3=\frac{1}{\sigma }.$

Остальные символы равны нулю.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат $(x,y,z)$ к параболическим $(\eta ,\xi ,\phi )$ осуществляется по формулам:

$\{\begin{array}{c}\eta =-z+\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \xi =z+\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{y}{x},\end{array}$

при этом $\eta ⩾0,\xi ⩾0.$

$\left|\begin{array}{c}d\eta \\ d\xi \\ d\phi \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& -1+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}& 1+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right|.$

При $\phi =0$ получаем ограничение координат на плоскость $XZ$:

$\eta =-z+\sqrt{x^2+z^2},$

$\xi =z+\sqrt{x^2+z^2}.$

Линия уровня $\eta =c$:

$z{|}_{\eta =c}=\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}.$

Это парабола, фокус которой при любом $c$ расположен в начале координат.

Аналогично при $\xi =c$ получаем

$z{|}_{\xi =c}=\frac{c}{2}-\frac{x^2}{2c}.$

Координатные параболы пересекаются в точке

$P:(\sqrt{bc},\frac{b-c}{2}).$

Пара парабол пересекается в двух точках, но при $\phi =0$ точка оказывается заключена в полуплоскости $x>0$, так как $x<0$ соответствует $\phi =\pi$.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке $P$:

$\frac{d{z}_c}{dx}=\frac{x}{c}=\frac{\sqrt{bc}}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c,$

$\frac{d{z}_b}{dx}=-\frac{x}{b}=\frac{-\sqrt{bc}}{b}=-\sqrt{\frac{c}{b}}=s_b;$

$s_c{s}_b=-\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{b}}=-1.$

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара $(\xi ;\eta )$ определяет координаты в полуплоскости. При изменении $\phi$ от 0 до $2\pi$ полуплоскость вращается вокруг оси $z$, в качестве координатных поверхностей получаются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина $\phi$ определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

$\{\begin{array}{c}x=\sqrt{\xi \eta }\cos \phi ,\\ y=\sqrt{\xi \eta }\sin \phi ,\\ z=\frac{1}{2}(\xi -\eta ).\end{array}$

$\left|\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi }{\eta }}\cos \phi & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta }{\xi }}\cos \phi & -\sqrt{\xi \eta }\sin \phi \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\xi }{\eta }}\sin \phi & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\eta }{\xi }}\sin \phi & \sqrt{\xi \eta }\cos \phi \\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{c}d\eta \\ d\xi \\ d\phi \end{array}\right|.$