Кольцо множеств

Кольцо множеств — непустая система множеств $R$, замкнутая относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов $A$ и $B$ из кольца элементы $A\cap B$ и $A\mathrm{△}B$ тоже будут лежать в кольце.

С точки зрения общей алгебры кольцо множеств — ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой.

Некоторые свойства:

• пустое множество принадлежит любому кольцу (так как $\varnothing =A\mathrm{△}A$);
• объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как $A\cup B=(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}(A\cap B)$;
• разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как $A\mathrm{\setminus }B=A\mathrm{△}(A\cap B)$.

Порождённое кольцо

Определение

Для некоторого полукольца множеств $S$ его порождённым кольцом $R(S)$ называется минимальное (по включению) кольцо, содержащее его. При этом построение такого кольца несложно: достаточно взять все объединения конечного количества непересекающихся множеств $S$, то есть:

$R(S)=\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_i\right|A_k\in S\}.$

В данной системе пересечение двух элементов $A=\underset{k}{⨆}{A}_k$ и $B=\underset{j}{⨆}{B}_j$ есть $\underset{k}{⨆}\underset{j}{⨆}(A_k\cap B_j)$ — объединение элементов, которые содержатся в $S$ как в полукольце, отчего пересечение содержится в системе. Одновременно с этим в силу свойств полукольца любое $A_k\in S$ можно представить как $\underset{j}{⨆}(A_k\cap B_j)\bigsqcup \underset{i}{⨆}{D}_{i,k}$, а $B_j\in S$ — как $\underset{k}{⨆}(A_k\cap B_j)\bigsqcup \underset{l}{⨆}{F}_{l,j}$ Следственно,

$A△B=(A\setminus B)\bigsqcup (B\setminus A)=\underset{k}{⨆}\underset{i}{⨆}{D}_{i,k}\bigsqcup \underset{j}{⨆}\underset{l}{⨆}{F}_{l,j}\in R(S)$, ⁣

откуда вытекает замкнутость системы также относительно симметрической разности. А значит, данное построение действительно является кольцом.

Более того, нетрудно видеть, что любое другое кольцо множеств $S$ в силу своих свойств также содержит все объединения данного вида, что означает: $R(S)$ действительно минимально.

Продолжение меры на кольцо

Меру $m$ данного полукольца $S$ можно единственным образом продолжить до меры на его порождённом кольце $R(S).$ А именно: для элемента $R(S)$, который является объединением непересекающихся множеств $S$, его мера равна сумме мер этих множеств:

$A=\underset{k=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_k,A_k\in S⟹mA=\sum _{k=1}^{n}m{A}_k.$ ⁣

Некоторые свойства:

• функция $m$ доопределена корректно, то есть не зависит от представления в виде объединения;

Шаблон:Начало скрытого блока Пусть $A=\underset{k}{⨆}{A}_k=\underset{j}{⨆}{B}_j$ — два различных представления $A$ в виде объединения элементов $S$. Тогда сумма мер множеств этих представлений одинакова:

$\sum _k{A}_k=\sum _k\sum _j(A_k\cap B_j)=\sum _j\sum _k(A_k\cap B_j)=\sum _j{B}_j.$ ⁣

• продолженная функция $m$ является мерой на $R(S)$;

Шаблон:Начало скрытого блока Если $B=\underset{j}{⨆}{B}_j$ и $B,B_j\in S$, то существуют представления $B_j=\underset{k}{⨆}{A}_{j,k}$, где $A_{j,k}\in S$. При этом $m{B}_j={\sum }_k^{}m{A}_{j,k}.$ Но равенство $B=\underset{j}{⨆}\underset{k}{⨆}{A}_{j,k}$ является представлением $B$ в виде объединения элементов $S.$ Поэтому мера $B$ равна сумме мер $B_j$:

$mB=\sum _j\sum _k{A}_{j,k}=\sum _j{B}_j.$ ⁣

• если мера счётно-аддитивна на полукольце, то она сохраняет это свойство и при продолжении.

Шаблон:Начало скрытого блока Пусть $A=\underset{j}{⨆}{A}_j$, $B_n=\underset{i}{⨆}{B}_{n,i}$ — представления в виде объединения множеств $S$ — и $A={⨆}_n^{\mathrm{\infty }}{B}_n.$ Тогда $mA=\sum _{j}m{A}_j$ и $m{B}_n=\sum _{i}m{B}_{n,i}.$ В силу счётной аддитивности меры на $S$ имеем:

$m{A}_j=\sum _n^{\mathrm{\infty }}\sum _{i}m(A_j\cap B_{n,i}),m{B}_{n,i}=\sum _{j}m(A_j\cap B_{n,i}).$ ⁣

Переставляя и группируя слагаемые в абсолютно сходящихся рядах (мера неотрицательна), получаем:

$mA=\sum _{j}m{A}_j=\sum _j\sum _n^{\mathrm{\infty }}\sum _{i}m(A_j\cap B_{n,i})=\sum _n^{\mathrm{\infty }}\sum _i\sum _{j}m(A_j\cap B_{n,i})=\sum _n^{\mathrm{\infty }}\sum _{i}m{B}_{n,i}=\sum _n^{\mathrm{\infty }}m{B}_n.$

См. также

Алгебра множеств