Гипоциклоида

Гипоцикло́ида (Шаблон:Lang-el (под, внизу) + Шаблон:Lang-el (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

История

Схема гипоциклоиды с k=2 (пара Туси), сделанная ат-Туси в XIII-м веке

Впервые частный случай гипоциклодиды, который сейчас известен как пара Туси, был описан астрономом и математиком Насир ад-Дином ат-Туси в его труде Тахрир аль-Маджисти в 1247 году. Позднее немецкий художник и теоретик эпохи Ренессанса Альбрехт Дюрер описал эпитрохоиды в 1525 году, а Рёмер и Бернулли сосредоточились на изучении некоторых специфических гипоциклоид, таких как астроиды, в 1674 и 1691 годах соответственно.

Уравнения

Внутри воздушного шарика катится маленькая батарейка с прикреплённым светодиодом, видна гипоциклоида с k=9

Параметрические уравнения:

$\{\begin{array}{c}x=r(k-1)(\cos t+\frac{\cos ((k-1)t)}{k-1})\\ y=r(k-1)(\sin t-\frac{\sin ((k-1)t)}{k-1})\end{array}$

где $k=\frac{R}{r}$, где $R$ — радиус неподвижной окружности, $r$ — радиус катящейся окружности.

Модуль величины $k$ определяет форму гипоциклоиды. При $k=2$ гипоциклоида описывается парой Туси — это диаметр неподвижной окружности, при $k=4$ является астроидой. Если модуль $k$ — несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$ ($m,n\in \mathbb{N}$), то $m$ — это количество каспов данной гипоциклоиды, а $(m-n)$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль $k$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

Примеры гипоциклоид

$k=3$ — Дельтоида $k=1.5=\frac{3}{2}$ $k=4$ — Астроида $k=\frac{4}{3}$ $k=5$ $k=6$ $k=5.5=\frac{11}{2}$ $k=\frac{5}{3}$ $k=3.6=\frac{18}{5}$

См. также

• Циклоида
• Эпициклоида
• Гипотрохоида

Литература

• Шаблон:Из КНЭ