Конъюнктивная нормальная форма

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицания, закон де Моргана, дистрибутивность.

Примеры и контрпримеры

Формулы в КНФ:

$\mathrm{\neg }A\wedge (B\vee C),$

$(A\vee B)\wedge (\mathrm{\neg }B\vee C\vee \mathrm{\neg }D)\wedge (D\vee \mathrm{\neg }E),$

$A\wedge B.$

Формулы не в КНФ:

$\mathrm{\neg }(B\vee C),$

$(A\wedge B)\vee C,$

$A\wedge (B\vee (D\wedge E)).$

Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:

$\mathrm{\neg }B\wedge \mathrm{\neg }C,$

$(A\vee C)\wedge (B\vee C),$

$A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).$

Построение КНФ

Алгоритм построения КНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

$A\to B=\mathrm{\neg }A\vee B,$

$A\leftrightarrow B=(\mathrm{\neg }A\vee B)\wedge (A\vee \mathrm{\neg }B).$

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

$\mathrm{\neg }(A\vee B)=\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B,$

$\mathrm{\neg }(A\wedge B)=\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B.$

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения КНФ

Приведем к КНФ формулу

$F=(X\to Y)\wedge ((\mathrm{\neg }Y\to Z)\to \mathrm{\neg }X).$

Преобразуем формулу $F$ к формуле, не содержащей $\to$:

$F=(\mathrm{\neg }X\vee Y)\wedge (\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }Y\to Z)\vee \mathrm{\neg }X)=(\mathrm{\neg }X\vee Y)\wedge (\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }Y\vee Z)\vee \mathrm{\neg }X).$

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

$F=(\mathrm{\neg }X\vee Y)\wedge ((\mathrm{\neg }Y\wedge \mathrm{\neg }Z)\vee \mathrm{\neg }X).$

По закону дистрибутивности получим КНФ:

$F=(\mathrm{\neg }X\vee Y)\wedge (\mathrm{\neg }X\vee \mathrm{\neg }Y)\wedge (\mathrm{\neg }X\vee \mathrm{\neg }Z).$

k-конъюнктивная нормальная форма

k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

$(A\vee B)\wedge (\mathrm{\neg }B\vee C)\wedge (B\vee \mathrm{\neg }C).$

A≡((x→y)→!x)→(x→(y&x));

Переход от КНФ к СКНФ

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в неё выражение :$Z\wedge \mathrm{\neg }Z=0$ (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

$(X\vee Y)\wedge (X\vee \mathrm{\neg }Y\vee \mathrm{\neg }Z)=(X\vee Y\vee (Z\wedge \mathrm{\neg }Z))\wedge (X\vee \mathrm{\neg }Y\vee \mathrm{\neg }Z)=(X\vee Y\vee Z)\wedge (X\vee Y\vee \mathrm{\neg }Z)\wedge (X\vee \mathrm{\neg }Y\vee \mathrm{\neg }Z).$

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Формальная грамматика, описывающая КНФ

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к КНФ:

<КНФ> → <дизъюнкт>

<КНФ> → <КНФ> ∧ <дизъюнкт>

<дизъюнкт> → <литерал>;

<дизъюнкт> → (<дизъюнкт> ∨ <литерал>)

<литерал> → <терм>

<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

Задача выполнимости формулы в КНФ

В теории вычислительной сложности важную роль играет задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме. Согласно теореме Кука, эта задача NP-полна, и она сводится к задаче о выполнимости формул в 3-КНФ, которая сводится и к которой в свою очередь сводятся другие NP-полные задачи.

Задача о выполнимости 2-КНФ формул может быть решена за линейное время.

Особенности обозначений

Следует отметить, что для удобства восприятия в качестве обозначения конъюнкции и дизъюнкции часто используют символы арифметического умножения и сложения, при этом символ умножения часто опускается. В этом случае формулы булевой алгебры выглядят как алгебраические полиномы, что более привычно для глаза, однако иногда может привести к недоразумениям.

Например, следующие записи эквивалентны:

$(A\vee B)\wedge (\mathrm{\neg }B\vee C\vee \mathrm{\neg }D)\wedge (D\vee \mathrm{\neg }E);$

$(A\vee B)\wedge (\bar{B}\vee C\vee \bar{D})\wedge (D\vee \bar{E});$

$(A\vee B)\cdot (\bar{B}\vee C\vee \bar{D})\cdot (D\vee \bar{E});$

$(A\vee B)(\bar{B}\vee C\vee \bar{D})(D\vee \bar{E});$

$(A+B)(\bar{B}+C+\bar{D})(D+\bar{E}).$

По этой причине КНФ в русскоязычной литературе иногда называют «произведением сумм», что является калькой с английского термина «product of sums».

См. также

• Дизъюнктивная нормальная форма
• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма
• Конъюнктивный одночлен
• Дизъюнктивный одночлен

Литература

• Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 176 с. - (Высшее образование)

Ссылки

• Дизъюнктивная и Конъюнктивная нормальные формы