Существенно особая точка

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$ не существует.

Критерий существенно особой точки

Точка $z_0$ является существенной особой точкой функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_0$ главная часть содержит бесконечное число отличных от нуля членов, то есть в разложении $f(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z-z_0{)}^k$ число коэффициентов $f_k\ne 0$, $k<0$, бесконечно.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Каким бы ни было комплексное число $B$, для любого $\epsilon >0$ в любой окрестности существенно особой точки $z_0$ найдется точка $z$, такая, что $|f(z)-B|<\epsilon$.

См. также

Другие типы изолированных особых точек:

• Устранимая особая точка
• Полюс

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.