Функция Кобба — Дугласа

Функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — производственная функция (или функция полезности), отражающая зависимость объёма производства $Q$ от создающих его факторов производства — затрат труда $L$ и физического капитала $K$.

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

$Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }$,

где $A$ — технологический коэффициент, $\alpha ⩾0$ — коэффициент эластичности по труду, а $\beta ⩾0$ — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени ($\alpha +\beta$) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства:

$Q\sim L^{0.73}\times K^{0.27}$.

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES-функция): $Q=A[\alpha L^{-\rho }+\beta K^{-\rho }{]}^{-\frac{1}{\rho }}$, для которой в пределе при $\rho \to 0$ получаем $Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }$.

Разногласия

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента $\lambda$ в разных секторах экономики. Например, рассмотрев функции для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

$Q_1=A\times L_1^{\lambda }\times K_1^{1-\lambda }$,

$Q_2=A\times L_2^{\lambda }\times K_2^{1-\lambda }$,

в сумме не будет получаться ожидаемое:

$Q_1+Q_2=A\times (L_1+L_2{)}^{\lambda }\times (K_1+K_2{)}^{1-\lambda }$.

Равенство возможно лишь если:

$\frac{L_1}{L_2}=\frac{K_1}{K_2}$.

В целом, гипотезу, что $\alpha +\beta =1$, можно тестировать на конкретных эмпирических данных.

См. также

• Модель Солоу
• Модель Кондратьева
• Функция Леонтьева

Литература

• Шаблон:Книга