Функция Жуковского

Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для описания некоторых принципов, связанных с профилями крыльев самолётов. Названа в честь Н. Е. Жуковского из-за приложений, которые он дал этой функции в аэродинамикеШаблон:Sfn. Относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции ЖуковскогоШаблон:Sfn.

Определение

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости $f : ℂ ∖ {0} \to ℂ$ по формулеШаблон:Sfn

f (z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z}) .

Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-линейной и квадратичной функции Шаблон:Sfn:

f (z) = (S_{1}^{- 1} \circ S_{2} \circ S_{1}) (z),

где

S_{1} (z) = \frac{z - 1}{z + 1}, S_{2} (z) = z^{2} .

$f (z) = f (\frac{1}{z})$ Шаблон:Sfn.
Обратной к функции Жуковского является функция $g (z) = z + \sqrt{z^{2} - 1}$ Шаблон:Sfn.
$f^{'} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{z^{2}})$ отлична от нуля при $z \neq \pm 1$ . Следовательно, отображение $f (z)$ является конформным везде, за исключением этих точекШаблон:Sfn.
Функция Жуковского совершает следующие конформные отображенияШаблон:Sfn:

круг ${z : | z | < 1}$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку $(- 1, 1)$ действительной оси.
круг ${z : | z | < 1}$ с разрезами по отрезкам $(b, 1)$ и $(- 1, - a)$ , где $0 < a, b < 1$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку $(- \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}), \frac{1}{2} (b + \frac{1}{b}))$ .
верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам $(- \infty, - 1)$ и $(1, + \infty)$ на действительной оси.
полукруг ${z : | z | < 1, Im z > 0}$ на нижнюю полуплоскость.
окружность, проходящая через точку $1$ и содержащая точку $- 1$ , на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крылаШаблон:Sfn.

Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную $z$ с преобразованной $ζ$ равенством

\frac{ζ - k}{ζ + k} = \frac{(z - 1)^{k}}{(z + 1)^{k}},

где $k < 2$ . При $k = 2$ получается $ζ = 2 f (z)$ Шаблон:Sfn.