Уравнение Колмогорова — Чепмена

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов $𝐏(t),t>0$ в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

$𝐏(t+s)=𝐏(t)𝐏(s).$

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где $𝐏(t),t\ge 0$ — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени $t$ ($𝐏(0)=\mathrm{𝟏}$).

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов $𝐏(t,h),h>t>0$, преобразующих распределение вероятностей в момент времени $t>0$ в распределение вероятности в момент времени $h>t>0.$ Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

$𝐏(t,s)=𝐏(t,h)𝐏(h,s),s>h>t>0.$

Для систем с дискретным временем параметры $t,h,s$ принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по $s$ при $s=0$ получаем прямое уравнение Колмогорова:

$\frac{d𝐏(t)}{dt}=𝐏(t)𝐐,$

где

$𝐐=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐏(h)-\mathrm{𝟏}}{h}.$

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по $t$ при $t=0$ получаем обратное уравнение Колмогорова

$\frac{d𝐏(t)}{dt}=𝐐𝐏(t).$

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор $𝐐$ уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в ${ℝ}^n,$ для которых оператор переходных вероятностей $𝐏(t)$ задаётся переходной плотностью $p(t,x,y)$: вероятность перехода из области $U$ в область $W$ за время $t$ есть $\underset{U}{\int }dx\underset{V}{\int }dyp(t,x,y)$. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

$p(t+s,x,y)=\underset{{ℝ}^n}{\int }p(t,x,z)p(s,z,y)dz.$

При $t>0,t\to 0$ переходная плотность $p(t,x,y)$ стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):$\underset{t\to 0}{\lim }p(t,x,y)=\delta (x-y)$. Это означает, что $\underset{t\to 0}{\lim }𝐏(t)=\mathrm{𝟏}.$ Пусть существует предел (также обобщённая функция)

$q(x,y)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p(h,x,y)-\delta (x-y)}{h}.$

Тогда оператор $𝐐$ действует на функции $f(x)$, определённые на ${ℝ}^n,$ как $(𝐐f)(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }q(x,y)f(y)dy,$ и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

$\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\underset{{ℝ}^n}{\int }p(t,x,z)q(z,y)dz,$

а обратное уравнение Колмогорова

$\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\underset{{ℝ}^n}{\int }q(x,z)p(t,z,y)dz.$

Пусть оператор $𝐐$ — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

$(𝐐f)=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{a}^{ij}(x)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}+\sum _j{b}^j(x)\frac{\partial f}{\partial x^j}.$

(это означает, что $q(x,y)$ есть линейная комбинация первых и вторых производных $\delta (x-y)$ с непрерывными коэффициентами). Матрица $a^{ij}$ симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

$\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\frac{1}{2}\sum _{i,j}\frac{{\partial }^2}{\partial y^i\partial y^j}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _j\frac{\partial }{\partial y^j}(b^j(y)p(t,x,y)).$

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор $b^j$ в физической литературе называется вектором сноса, а матрица $a^{ij}$ — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

$\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{a}^{ij}(x)\frac{{\partial }^2}{\partial x^i\partial x^j}p(t,x,y)+\sum _j{b}^j(x)\frac{\partial }{\partial x^j}p(t,x,y).$

См. также

• Цепь Маркова
• Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.