Симметрическая алгебра

В математике, симметрической алгеброй $S(V)$ (также обозначается $\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(V)$) векторного пространства $V$ над полем $K$ называется свободная коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, содержащая $V$.

Иначе говоря, симметрическую алгебру можно определить как факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида $v\otimes w-w\otimes v$. Она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого линейного отображения $f$ из $V$ в коммутативную алгебру $A$ существует единственный гомоморфизм алгебр $g:S(V)\to A$ такой, что $f=g\circ i$, где $i:V\to S(V)$ — вложение.

Симметрическая алгебра имеет градуированную структуру:

$S(V)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{S}^n(V),$

где $S^n(V)$ — векторное подпространство, порождённое произведением $n$ векторов из $V$.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Внешняя алгебра
• Тензорная алгебра

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — Шаблон:М: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Шаблон:Citation