Антиголоморфная функция

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение

Функция $f$, определённая на открытом подмножестве $D$ комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная $\frac{df}{d\overline{z}}$ по $\overline{z}$ существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

$\frac{\partial f}{\partial z}=0$

где $\frac{\partial f}{\partial z}$ — первая производная Виртингера. Этому условию можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}$

где

$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy,\{x,y,u,v\}\subset ℝ$

Функция, зависящая одновременно от $z$ и $\overline{z}$, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства

• $f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда $f(\overline{z})$ антиголоморфна в $\overline{D}=\{\overline{z}|z\in D\}$.
• функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням $\overline{z}$ в окрестности каждой точки её области определения.
• $f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда $\overline{f}(z)$ антиголоморфна в $D$.
• если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.