Квантовый эффект Шоттки

Шаблон:Rq Квантовый эффект Шоттки — квантовый аналог классического эффекта Шоттки.

Классический эффект

Классический эффект Шоттки связан с понижением потенциального барьера в элекстрическом поле при эмиссии электронов в вакуум с поверхности металла. Электрон, который находится в вакууме на некотором расстоянии $x$ от поверхности металла, индуцирует на поверхности металла положительный заряд. Сила притяжения между электроном и этим индуцированным поверхностным зарядом равна по величине силе притяжения к эффективному положительному заряду $+q$, который называют зарядом изображения. Эта сила, которая также называется силой изображения, равнаШаблон:Sfn:

$F=\frac{-q^2}{4\pi (2x{)}^2{ϵ}_0{ϵ}_s}=\frac{-q^2}{16\pi {ϵ}_0{ϵ}_s{x}^2},$

где ${ϵ}_0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, ${ϵ}_s$ — относительная диэлектрическая проницаемость поверхности полупроводника. Работа, которую нужно выполнить чтобы переместить электрон с бесконечности в точку $x$, равнаШаблон:Sfn:

$A(x)=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}Fdx=\frac{q^2}{16\pi {ϵ}_{0}x},$

Если приложено внешнее электрическое поле $E$, то потенциальная энергия электрона $W_P$ будет равна сумме:

$W_P(x)=\frac{q^2}{16\pi {ϵ}_0{ϵ}_{s}x}+qEx$ эВ.

Снижение барьера Шоттки $\mathrm{\Delta }\varphi$ и расстояние $x_m$, при котором величина потенциала достигает максимума, определяется с условия $\frac{d[W_P(x)]}{dx}=0$. Откуда находимШаблон:Sfn:

$x_m=\sqrt{\frac{q}{16\pi {ϵ}_0{ϵ}_{s}E}}$ см,

$\mathrm{\Delta }\varphi =\sqrt{\frac{qE}{4\pi {ϵ}_0{ϵ}_s}}=2E{x}_m$ В.

Квантовый эффект

В общем случае квантовый эффект Шоттки связан с проблемой атома Бора, дискретная энергия которых может быть записанная в виде:

$W_{B0}=\frac{\hslash {}^2}{2m(n{a}_B{)}^2},n=1,2,...$

где $a_B$- боровский радиус, и с проблемой Эйри (треугольной потенциальной ямы), что имеет энергетические уровни:

$U_{An}={\eta }_n(\frac{q\hslash E_n}{\sqrt{2m}}{)}^{2/3}$

где ${\eta }_n$ — корни функции Эйри. Поскольку атомная проблема относится к класса 3D- проблем (трёхмерным), а проблема Эйри есть типичная одномерная (1D-), их совместное решение представляет трудную задачу. Поэтому здесь мы воспользуемся квазиклассическим приближением первого порядка, чтобы решить проблему движения зарядов в 1D- размерности у поверхности раздела $Si-Si{O}_2$. Как известно, квантовое движение свободной частицы может быть представлено в виду плоской волны:

$\psi (x)\sim exp(ikx),$

где $k$ — волновой вектор, а кинетическая энергия:

$W=\frac{(\hslash k{)}^2}{2m}$.

В случае наличия центров рассеяния волновой вектор удовлетворяет условию:

$k(2x)=1$, и потому одночастная кинетическая энергия могут быть переписана в виде:

$W_{II}=\frac{\hslash {}^2}{8m{x}^2}.$

Рассмотрим случай наличия одной частицы, чью полную энергию можно записать в виде:

$W_{II\mathrm{\Sigma }}(X)=W_{II}+U_{II}=\frac{\hslash {}^2}{8m{x}^2}+qxE.$

Дифференцируя последнее уравнение по $x$, получится экстремальное значение координаты:

$x_{IIm}=(\frac{\hslash {}^2}{4mqE}{)}^{1/3}$

и в барьере Шоттки:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{W_{II\mathrm{\Sigma }}(X)}{q}=\frac{3}{2q}(\frac{q\hslash E}{2\sqrt{m}}{)}^{2/3}$

Электрическое поле $E$ в последнем уравнении должно иметь только дискретные значения в квантовом случае, которые можно найти следующим образом. По-видимому, что у задачи Бора используется взаимодействие двух частиц. Для двух частиц в нашем случае кинетическая энергия должна быть уменьшена в 2 раза. Тогда полная энергия может быть переписана в виде:

$W_{2I\mathrm{\Sigma }}(X)=W_{2I}+U_{2I}=\frac{\hslash {}^2}{16m{x}^2}+qxE.$.

Дифференцируясь это уравнение получим значение координаты в точке экстремума:

$x_{2Im}=0.5(\frac{\hslash {}^2}{mqE}{)}^{1/3}$, и кинетической энергии:

$W_{21}(x_m)=2^{-5/3}(\frac{\hslash qE}{\sqrt{2m}}{)}^{2/3}$,

как и потенциальной энергии:

$U_{21}(x_m)=2^{-2/3}(\frac{\hslash qE}{\sqrt{2m}}{)}^{2/3}$.

Используя условия сшивки

$W_{21}(x_m)=W_{Bn}$, и $U_{21}(x_m)=U_{A0}$

получится оценка для электрического поля:

$E_{0n}=2^{3/2}{n}^{-3}{\eta }_0^{-3/2}{E}_B,$,

где $E_B=\frac{\hslash {}^2}{2mq{a}_B^3}=2,5711\cdot 10^{11}$ В/м, а ${\eta }_0=2,33811$ — первый корень функции Эйри.

Литература

• Шаблон:Книга
• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739–1751