Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд вида:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n,$

где $T$ — это некоторый оператор. В этом случае $T^n$ означает суперпозицию из $n$ одинаковых операторов $T$. Если же $T$ — элемент кольца, то $T^n$ будет означать $n$-ю степень элемента $T$.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

$(I-T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n,$

где $I$ — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор $T$, действующий в банаховом пространстве $X$, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида $I-F$, где ${\lambda }_{max}(F)<1$ — максимальное собственное значение матрицы $F$.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида $1-p$, где $p$ — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

$\sum _{n=0}^{m-1}{p}^n,$

где $m$ — индекс нильпотента $p$.

См. также

• Ряд Лиувилля — Неймана