Вариация Фреше

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

Определение

Вариация Фреше определяется как:

$F(f,D_n)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\epsilon }{\sup }\underset{\mathrm{\Pi }}{\sup }|\sum _{r_1=0}^{l_1-1}\sum _{r_2=0}^{l_2-1}\dots \sum _{r_n=0}^{l_n-1}{\epsilon }_n^{(r_1)}{\epsilon }_n^{(r_2)}\dots {\epsilon }_n^{(r_n)}\times$

$\times {\mathrm{\Delta }}_{h_1^{(r_1)}{h}_2^{(r_2)}\dots h_n^{(r_n)}}(f;x_1^{(r_1)},x_2^{(r_2)},\dots ,x_n^{(r_n)})|,$

где $f(x)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ — действительнозначная функция, заданная на $n$-мерном параллелепипеде $D_n$

$D_n=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n];$

$\mathrm{\Pi }$ — произвольное разбиение параллелепипеда $D_n$ гиперплоскостями $x_s=x_s^{(r_s)}$ такими, что

$x_s^{(0)}=a_s$, $x_s^{(l_s)}=b_s$ и $x_s^{(r_s)}<x_s^{(r_s+1)}$,

где $r_s=0,1,2,\dots ,l_s$, $s=1,2,\dots ,n$.

$h_s^{(r_s)}=x_s^{(r_s+1)}-x_s^{(r_s)}$ — шаг разбиения;

${\mathrm{\Delta }}_{h_k}(f,x)=f(x_1,x_2,\dots ,x_k+h_k,\dots ,x_n)-f(x_1,x_2,\dots ,x_k,\dots ,x_n)$ ($k=1,2,\dots ,n$) — приращение функции по $x_k$-ой координате;

${\mathrm{\Delta }}_{h_1{h}_2\dots h_k}(f;x)={\mathrm{\Delta }}_{h_k}({\mathrm{\Delta }}_{h_1{h}_2\dots h_{k-1}};x)$ — обобщённое приращение функции по первым $k$ координатам ($k=2,3,\dots ,n$);

${\epsilon }_k^{(r_k)}=\pm 1$ ($k=1,2,\dots ,n$) произвольным образом.

Применение

Если $F(f;D_n)<\mathrm{\infty }$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на $D_n$. Класс всех таких функций обозначается через $F(D_n)$.

При $n=2$ этот класс был введён М. Фреше в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала $U({\phi }_1,{\phi }_2)$ в пространстве непрерывных на квадрате $Q_2=[a,b]\times [a,b]$ функций вида ${\phi }_1(x_1){\phi }_2(x_2)$. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

$U({\phi }_1,{\phi }_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\phi }_1(x_1){\phi }_2(x_2)d_{x_l}{d}_{x_2}u(x_1,x_2),$

где $u(x_1,x_2)\in F(Q_2)$, $u(a,x_2)\equiv u(x_1,b)\equiv 0$.

Позднее было показано, что для $2\pi$-периодических функций класса $f(Q_n)$ ($Q_n=[0,2\pi ]\times \dots \times [0,2\pi ]$) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье. Так, например, если $f(x)\in F(Q_n)$, $n=2,3,\dots$, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$ в каждой точке $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ сходятся к числу

$\frac{1}{2^n}\sum f(x_1\pm 0,x_2\pm 0,\dots ,x_n\pm 0),$

где суммирование распространяется на все $2^n$ возможных комбинаций знаков $\pm$. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.

Литература

• Шаблон:Книга.

См. также

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Харди