Вариация Харди

Шаблон:Другие значения термина Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

Определение

Пусть имеется функция $f(x)=f(x_1,\dots ,x_n),n=2,3,\dots$, заданная на $n$-мерном параллелепипеде

$D_n=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n].$

Зададимся произвольным разбиением $\pi$ параллелепипеда гиперплоскостями

$x_s=x_s^{(r_s)},r_s=0,1,2,\dots ,l_s;s=1,2,\dots ,n,$

$x_s^{(r_s)}<x_s^{(r_s+1)},x_s^{(0)}=a_s,x_s^{(l_s)}=b_s,h_s^{(r_s)}=x_s^{(r_s+1)}-x_s^{(r_s)}$

на $n$-мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс ${\tilde{H}}_n$ всех функций, для которых

${\tilde{H}}_n=\underset{\pi }{\sup }\sum _{r_1=0}^{l_1-1}\sum _{r_2=0}^{l_2-1}\dots \sum _{r_n=0}^{l_n-1}|{\mathrm{\Delta }}_{h_1^{(r_1)}{h}_2^{(r_2)}\dots h_n^{(r_n)}}(f;x_1^{(r_1)},x_2^{(r_2)},\dots ,x_n^{(r_n)})|<\mathrm{\infty },$

где

${\mathrm{\Delta }}_{h_1{h}_2\dots h_n}(f;x)={\mathrm{\Delta }}_{h_k}({\mathrm{\Delta }}_{h_1{h}_2\dots h_{k-1}};x),k=2,3,\dots ,n;$

${\mathrm{\Delta }}_{h_k}(f;x)=f(x_1,x_2,\dots ,x_k+h_k,\dots ,x_n)-$

$-f(x_1,x_2,\dots ,x_k,\dots ,x_n),k=1,2,\dots ,n.$

Пусть, теперь, $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s),s=1,2,\dots ,n-1$ — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам $1⩽{\alpha }_1<{\alpha }_2<\dots <{\alpha }_s⩽n$, и $\overline{\alpha }$ — целочисленный вектор размерности $n-s$ такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел $1,2,\dots ,n$, которые не содержатся среди чисел ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$. Тогда каждую точку $x\in D_n$ можно записать в виде $x=(x^{\alpha },x^{\overline{\alpha }})$. Если координаты $x_{{\alpha }_1},x_{{\alpha }_2},\dots ,x_{{\alpha }_s}$ точки $x\in D_n$ фиксированы на значениях ${\stackrel{\circ }{x}}_{{\alpha }_1},{\stackrel{\circ }{x}}_{{\alpha }_2},\dots ,{\stackrel{\circ }{x}}_{{\alpha }_s}$, то будем писать $x=(\stackrel{\circ }{x}{}^{\alpha },x^{\overline{\alpha }})$.

Вариация Харди функции $f(x)$ на $D_n$:

$H(f,D_n)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\alpha }{\sup }\underset{\stackrel{\circ }{x}{}^{\alpha }}{\sup }{\tilde{H}}_{n-s}(f(\stackrel{\circ }{x}{}^{\alpha },x^{\overline{\alpha }})).$

Если $H(f,D_n)<\mathrm{\infty }$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде $D_n$, а класс всех таких функций обозначается $H(D_n)$.

История

Первоначально класс $H(D_n)$ при $n=2$ был введён Г. Харди (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции $f(x_1,x_2)$ класса $H(Q_2)$ ($Q_2=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]$), имеющей период $2\pi$ по каждой переменной, сходятся в каждой точке $(x_1,x_2)$ к числу

$\frac{1}{4}\{f(x_1+0,x_2+0)+f(x_1+0,x_2-0)+f(x_1+0,x_2-0)+f(x_1-0,x_2-0)\},$

где

$f(x\pm 0,x_2\pm 0)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\begin{array}{c}{\epsilon }_1\to +0\\ {\epsilon }_2\to +0\end{array}}{\lim }f(x_1\pm {\epsilon }_1,x_2\pm {\epsilon }_1).$

Для того чтобы функция $f(x)$ входила в класс $H(D_n)$, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде $f(x)=f_1(x)-f_2(x)$, где $f_1$ и $f_2$ такие конечные на $D_n$ функции, что ${\mathrm{\Delta }}_{h_1{h}_2\dots h_n}(f;x)⩾0,k=2,3,\dots ,n$, при всех $x\in D_n$ и допустимых приращениях $h_1,h_2,\dots ,h_n$. Класс $H(D_n)$ содержится в классе $A(D_n)$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на $D_n$.

Литература

• Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.

См. также

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Фреше