Вариация функции

Шаблон:Другие значения В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в ${ℝ}^n$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в ${ℝ}^n$ этой функцией.

Определение

Пусть $f:[a,b]\to {ℝ}^n$. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции $f$ на отрезке $[a,b]$ называется следующая величина:

$V_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m|f(x_{k+1})-f(x_k)|,$

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям $P$ отрезка $[a,b]$ длин ломаных в ${ℝ}^n$, концы которых соответствуют значениям $f$ в точках разбиения.

Связанные определения

• Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается $V[a,b]$ или просто $V$.
  • В таком случае определена функция $v(x)=V_a^{x}f$, называющаяся функцией полной вариации для $f$.
• Положительная вариация вещественнозначной функции $f$ на отрезке $[a,b]$ называется следующая величина:

  $P_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m\max \{0,f(x_{k+1})-f(x_k)\}.$

• Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

  $N_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\inf {\mathrm{\backslash limits}}_P\sum _{k=0}^m\min \{0,f(x_{k+1})-f(x_k)\}.$

• Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

  $V_a^{b}f=P_a^{b}f+N_a^{b}f.$

Свойства функций ограниченной вариации

• Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из $V$ будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу $V$), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке $[a,b]$.
• Если $a<x⩽y<b$, а $f\in V[a,b]$, то $V_a^{x}f+V_x^{y}f=V_a^{y}f$.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ справа и принадлежит $V[a,b]$, то $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+}v(x)=0$.
• Функция $f(x)$, заданная на отрезке $[a,b]$, является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на $[a,b]$ функции (разложение Жордана).
• Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
• Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом.

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция $f:[a,b]\to {ℝ}^n$ принадлежит классу $C^1$, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке $[a,b]$, то $f$ — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert f^{\prime }(x)\Vert dx,$

то есть равна интегралу нормы производной.

История

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом.

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье $2\pi$-периодических функций класса $V[0,2\pi ]$ сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения

• Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

• В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:
  • вариация Фреше,
  • плоская вариация Тонелли.

Φ-вариация функции

Рассматривается также класс $V_{\mathrm{\Phi }}[a,b]$, который определяется следующим образом:

${V_{\mathrm{\Phi }}}_a^{b}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{a⩽x⩽b}\sum _{k=1}^n\mathrm{\Phi }(|f(x_k)-f(x_{k-1})|),$

где $\mathrm{\Phi }(x)$ ($x⩾0,\mathrm{\Phi }(0)=0$) — положительная при $x>0$ монотонно возрастающая непрерывная функция;

$a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$ — произвольное разбиение отрезка $[a,b]$.

Величина ${V_{\mathrm{\Phi }}}_a^{b}f$ называется $\mathrm{\Phi }$-вариацией функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$.

Если ${V_{\mathrm{\Phi }}}_a^{b}f<\mathrm{\infty }$, то функция $f(x)$ обладает ограниченной $\mathrm{\Phi }$-вариацией на отрезке $[a,b]$. Класс всех таких функций обозначается через $V_{\mathrm{\Phi }}[a,b]$ или просто как $V_{\mathrm{\Phi }}$Шаблон:Нет в источнике. Определение класса $V_{\mathrm{\Phi }}[a,b]$ предложено Шаблон:Не переведено (L. С. Young).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом $\mathrm{\Phi }(x)=x$. Если $\mathrm{\Phi }(x)=x^p$ при $1<p<\mathrm{\infty }$, то получаются классы $V_p$ Н. Винера (N. Wiener).

Свойства

Если рассмотреть две функции ${\mathrm{\Phi }}_1(x)$ и ${\mathrm{\Phi }}_2(x)$ такие, что

$\underset{x\to 0^{+}}{\bar{\lim }}\frac{{\mathrm{\Phi }}_1(x)}{{\mathrm{\Phi }}_2(x)}<\mathrm{\infty },$

то для их $\mathrm{\Phi }$-вариаций справедливо отношение:

$V_{{\mathrm{\Phi }}_2}[a,b]\subset V_{{\mathrm{\Phi }}_1}[a,b].$

В частности,

$V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp (-x^{-\alpha })}\subset V_{\exp (-x^{-\beta })}$

при $1⩽p<q<\mathrm{\infty },0<\alpha <\beta <\mathrm{\infty }$.

См. также

• Вариация функционала
• Вариационное исчисление
• Вариационный ряд
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Вариация Фреше
• Вариация Харди
• Волатильность
• Функция Вейерштрасса

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга