6j-символ

6Шаблон:Math-Символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году.

Понятие 6Шаблон:Math-символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента $j$ и его проекции $m$ :

\begin{matrix} 1) & j_{1} + j_{2} = j_{12}, j_{12} + j_{3} = j, \\ 2) & j_{2} + j_{3} = j_{23}, j_{1} + j_{23} = j, \\ 3) & j_{1} + j_{3} = j_{13}, j_{13} + j_{2} = j . \end{matrix}

Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента $j$ и его проекции $m$ . Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6Шаблон:Math-символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6Шаблон:Math-символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии.

6Шаблон:Math-Символы выражаются через [[W-коэффициенты Рака|Шаблон:Math-коэффициенты Рака́]] следующим образом:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{4} + j_{5}} W (j_{1} j_{2} j_{5} j_{4}; j_{3} j_{6})

и обладают большей симметрией, чем Шаблон:Math-коэффициенты Рака.

Свойства симметрии

6Шаблон:Math-Символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ j_{4} & j_{6} & j_{5} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ j_{6} & j_{5} & j_{4} \end{matrix}} .

6Шаблон:Math-Символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ j_{1} & j_{2} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ j_{4} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ j_{1} & j_{5} & j_{3} \end{matrix}} .

6Шаблон:Math-Символ

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}}

не равен нулю, только если $j_{1}$ , $j_{2}$ и $j_{3}$ удовлетворяют условию треугольника, то есть

j_{1} = | j_{2} - j_{3} |, \dots, j_{2} + j_{3} .

Вместе со свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также $(j_{1}, j_{5}, j_{6})$ , $(j_{4}, j_{2}, j_{6})$ и $(j_{4}, j_{5}, j_{3})$ .

Частные случаи

Если $j_{6} = 0$ , то выражение для 6Шаблон:Math-символа принимает вид

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{2}, j_{4}} δ_{j_{1}, j_{5}}}{\sqrt{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)}} (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} {j_{1} j_{2} j_{3}},

где функция ${j_{1} j_{2} j_{3}}$ равна 1, если $j_{1}, j_{2}, j_{3}$ удовлетворяют условию треугольника, и равна нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда нулю равен любой другой $j$ .

Соотношения ортогональности

6Шаблон:Math-Символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:

\sum_{j_{3}} (2 j_{3} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{6}^{} {j_{6}}^{'}}}{2 j_{6} + 1} {j_{1} j_{5} j_{6}} {j_{4} j_{2} j_{6}} .

Явные выражения

6Шаблон:Math-Символы могут быть выражены в явном виде различными способами:

в виде конечных сумм,
через Шаблон:Math-символ (формула Баргмана),
через обобщённые гипергеометрические функции,
через 3Шаблон:Math-символы,
в виде квазибиномов,
в виде интегралов от характеров представлений группы вращений.

В качестве примера приведём выражение для 6Шаблон:Math-символов в виде конечных сумм:

{\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}} = (- 1)^{a + c + d + f} \frac{Δ (a, b, c) Δ (b, d, f)}{Δ (a, e, f) Δ (c, d, e)} \times

\times \sum_{n} (- 1)^{n} \frac{(a - b + d + e - n)! (- b + c + e + f - n)! (a + c + d + f + 1 - n)!}{n! (a - b + c - n)! (- b + d + f - n)! (a + e + f + 1 - n)! (c + d + e + 1 - n)!},

где суммирование ведётся по всем Шаблон:Math, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения. Здесь

Δ (a, b, c) \equiv \sqrt{\frac{(a + b - c)! (a - b + c)! (- a + b + c)!}{(a + b + c + 1)!}} .

См. также

Литература

Ссылки

Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3 Шаблон:Math и 6Шаблон:Math-символов (численно)
калькулятор 369 Шаблон:Math-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)

Шаблон:Rq

6j-символ

Содержание

Свойства симметрии

Частные случаи

Соотношения ортогональности

Явные выражения

См. также

Литература

Ссылки

Навигация

6j-символ

Свойства симметрии

Частные случаи

Соотношения ортогональности

Явные выражения

См. также

Литература

Ссылки

Навигация

Поиск