Ударная адиабата

Уда́рная адиаба́та (уравнение Ра́нкина — Гюгонио́) — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.

Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах).

Ударная адиабата представляет геометрическое место точек возможных конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.

Вывод уравнения ударной адиабаты

Схема ударной волны в системе координат, связанных с фронтом ударной волны

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

${\rho }_1{u}_1={\rho }_2{u}_2=j,$

$p_1+{\rho }_1{u}_1^2=p_2+{\rho }_2{u}_2^2,$

$h_1+\frac{1}{2}{u}_1^2=h_2+\frac{1}{2}{u}_2^2.$

Здесь $\rho$ — плотность газа, $u$ — скорость газа относительно ударной волны, $h$ — удельная энтальпия газа, $j$ — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния среды до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы $u=j/\rho$, получим уравнение:

$h_2-h_1+\frac{j^2}{2}(\frac{1}{{\rho }_2^2}-\frac{1}{{\rho }_1^2})=0.$

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости $(p,V)$, где $V=1/\rho$ — удельный объём):

$j^2=-\frac{p_2-p_1}{V_2-V_1},$

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио: Шаблон:Рамка

$h_2-h_1-\frac{(p_2-p_1)}{2}(V_1+V_2)=0.$

Шаблон:Конец рамки Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию $\epsilon$ как $h=\epsilon +pV$, то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

${\epsilon }_2-{\epsilon }_1-\frac{(p_2+p_1)}{2}(V_1-V_2)=0.$

Особенности ударной адиабаты

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления $(p_2-p_1)/p_1.$

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости $(p,V)$ или $(p,\rho ),$ определяющую зависимость $p_2$ от ${\rho }_2$ при заданных начальных значениях $p_1$ и ${\rho }_1.$ При заданных $p_1$ и ${\rho }_1$ ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать $p_2,$ то по адиабате Гюгонио можно найти ${\rho }_2,$ а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока $j$ и скорости $u_1$ и $u_2,$ а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией $s,$ то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой $s(\rho ,p)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$ уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде $f(\rho ,p)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$ где $f$ — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как $p_1,$ так и ${\rho }_1,$) тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Примеры

Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа:

$\epsilon =\lambda pV$, $3/2⩽\lambda ⩽3.$

Величина $\lambda$ равна $3/2$ для одноатомного идеального газа, $5/2$ — для двухатомного, $3$ — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промежуточные значения.

Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде:

$(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{2\lambda +1})(\frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{2\lambda +1})=1-\frac{1}{(2\lambda +1{)}^2}.$

Правая часть всегда положительна, поэтому и левая часть должна быть положительна, откуда $V_2>\frac{V_1}{2\lambda +1},$ то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в $2\lambda +1$ раз. Второе начало термодинамики приводит к тому, что $p_2⩾p_1,$ $V_2⩽V_1$ (для всех ударных адиабат), то есть объём вещества после ударной волны может только уменьшаться, а давление — только увеличиваться. (Если $V_2=V_1,$ то из уравнения следует $p_2=p_1,$ и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)

Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: $\frac{p_2}{p_1}\frac{V_2}{V_1}=1$ (закон Бойля — Мариотта).

Примеры для некоторых значений $\lambda .$

При $\lambda =3/2:(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{4})(\frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{4})=\frac{15}{16}.$

При $\lambda =2:(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{5})(\frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{5})=\frac{24}{25}.$

При $\lambda =5/2:(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{6})(\frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{6})=\frac{35}{36}.$

При $\lambda =3:(\frac{p_2}{p_1}+\frac{1}{7})(\frac{V_2}{V_1}-\frac{1}{7})=\frac{48}{49}.$

Правая часть выражения положительна, поэтому и левая должна быть положительна. Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной любой силы менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика — С. 456—459 (§ 85).
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга