Функция Ландау

Шаблон:Не путать Функция Ландау $g(n)$ в теории чисел, названная в честь немецкого математика Эдмунда Ландау, определяется для любого натурального числа n как наибольший порядок элемента симметрической группы $S_n$.

Определения

Эквивалентные определения: $g(n)$ равно наибольшему из наименьших общих кратных (НОК) по всем разбиениям числа n, или максимальному числа раз, которое подстановка из n элементов может быть последовательно применена до первого появления первоначальной последовательности. Таким образом, формально:

$g(n)=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{k_1+\dots +k_m=n}HOK(k_1,\dots ,k_m)$.

Например, 5 = 2 + 3 и НОК(2,3) = 6. Никакое другое разбиение не даёт бо́льшее наименьшее общее кратное, следовательно $g(5)=6$. Элемент порядка 6 в группе $S_5$ может быть записан в виде произведения двух циклов: (1 2) (3 4 5).

Свойства

Целочисленная последовательность g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, … — Шаблон:OEIS, названа в честь Эдмунда Ландау, доказавшего в 1902 году, что

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (g(n))}{\sqrt{n\ln (n)}}=1$

(где ln обозначает натуральный логарифм).

При этом локальные максимумы выражения под знаком предела случаются при n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (Шаблон:OEIS).

Утверждение о том, что

$\ln g(n)<\sqrt{{\mathrm{Li}}^{-1}(n)}$

для всех n, где ${\mathrm{Li}}^{-1}$ обозначает обратную функцию к интегральному логарифму, эквивалентно гипотезе Римана.

Другие соотношения:

• ln НОК (1, 2, …, n) $⩽\ln g\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\sim n\sqrt{\ln n}$. Первое неравенство следует из того, что $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ — одно из разбиений, вторая асимптотика из утверждения Ландау.
• Пусть gpf(g(n)) — наибольший простой множитель g(n). Значения этой функции при n=2, 3, … будут 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (Шаблон:OEIS). J.-L. Nicolas в 1969 показал, что $\mathrm{gpf}(g(n))\sim \sqrt{n\ln n}$. J.-P. Massias et al. (1988, 1989) показали, что для всех $n⩾2$ $\mathrm{gpf}(g(n))⩽2,86\sqrt{n\ln n}$, а J. Grantham (1995) показал, что для всех $n⩾5$ константа 2,86 может быть улучшена до 1,328.

Литература

• E. Landau, «Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [О максимальном порядке перестановки заданного порядка]», Arch. Math. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, «The maximum order of an element of a finite symmetric group» , American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pp. 497—506.
• J.-L. Nicolas, «On Landau’s function g(n)», in The Mathematics of Paul Erdős, vol. 1, Springer-Verlag, 1997, pp. 228—240.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:OEIS — функция Ландау для натуральных чисел.