Вейвлет Койфлет

Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций

Вейвлеты — ортонормированный базис в $L_2$. С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и её временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки .

Построение систем вейвлет-функций

Определение скейлинг-функции

Пусть $\phi (t)$ представляет собой функцию из в $L_2$, такую что множество её трансляций

$\{{\phi }_{0,k}(t)|{\phi }_{0,k}(t)=\phi (t-k)\},$ ($k\in \mathrm{Z}$ — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в $L_2(R)$.

Введем ${\phi }_{j,k}(t)$ согласно:

${\phi }_{j,k}(t)=2^{j/2}\phi (2^{j}t-k)j,k\in \mathrm{Z}.$

Пусть $\{{\phi }_{0,k}(t)\}$ — ортонормированный базис пространства $V_0$. Тогда для любой функции $f(t)\in {\text{V}}_{\mathrm{0}}$:

$f(t)=\sum _k{C}_k\phi (t-k).$

Далее, пусть $\{{\phi }_{j,k}(t)\}$ — ортонормированный базис пространства $V_j$ , $j\in \mathrm{Z}$. Тогда мы получаем последовательность пространств $\{V_j|j\in \mathrm{Z}\}$, таких что

$V_j\subset V_{j+1}$.

Определение. Пусть ${\phi }_{0,k}(t)$ — ортонормированный базис в $V_0$, тогда разложение функции $f(t)\in L_2$ по базисам пространств $\{V_j|j\in \mathrm{Z}\}$ называется многомасштабным анализом в $L_2$.

Определение. Если $\{V_j|j\in \mathrm{Z}\}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_2$, функция $\phi (t)$ порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции

Пусть последовательность пространств $\{V_j|j\in \mathrm{Z}\}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_2$. Определим пространство $W_j$ как дополнение пространства $V_j$ до пространства $V_{j+1}$, то есть $W_j=V_{j+1}\mathrm{\setminus }{V}_j$. Тогда

$V_j=V_0\oplus \underset{k=0}{\overset{j}{⨁}}{W}_k$,

или же:

$L_2=V_0\oplus \underset{j=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{W}_j$. $(1)$

Построим материнскую вейвлет-функцию $\psi (t)\in L_2$ ортогональную скейлинг-функции $\phi (t)$. В результате получим набор функций $\{{\psi }_{j,k}(t)|j,k\in \mathrm{Z}\}$ — базис в пространстве $W_j$.

Вейвлет-разложение

Таким образом, согласно (1) и определению функций ${\psi }_{j,k}(t)$ и ${\phi }_{j,k}(t))$ как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция $f(t)\in L_2$ может быть разложена в сходящийся в $L_2$ ряд:

$f(t)=\sum _k{\alpha }_k{\phi }_{0,k}(t)+\sum _j\sum _k{\beta }_{j,k}{\psi }_{k,j}(t),$

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

${\alpha }_k=\int f(t){\phi }_{0,k}^{\ast }(t)dt,$

${\beta }_{j,k}=\int f(t){\psi }_{j,k}^{\ast }(t)dt.$

Коэффициенты ${\alpha }_k$ дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты ${\beta }_{j,k}$ содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств $W_j$ используемых для анализа.

Функция $m_0(\omega )$

Утверждение. Пространства $V_j$ являются вложенными $V_j\subset V_{j+1}$ , $j\in \mathrm{Z}$ при условии, что существует $2\pi$ — периодическая функция $m_0(w)\in L_2(0,2\pi )$ такая, что

$\hat{\phi }(\omega )=m_0\left(\frac{\omega }{2}\right)\hat{\phi }\left(\frac{\omega }{2}\right)$, $(2)$

где $\hat{\phi }(\omega )$ — Фурье-образ функции $\phi (t)$ (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций $\{{\phi }_{0,k}|k\in \mathrm{Z}\}$ является ортонормированной в $L_2$ тогда и только тогда, когда

$\sum _k|\hat{\phi }(\omega +2\pi k){|}^2=1$. (3)

Лемма 1. Положим, что $\{{\phi }_{0,k}|k\in \mathrm{Z}\}$представляет собой ортонормированный базис в $L_2$ . Тогда для любой $2\pi$ -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

$|m_0(\omega ){|}^2+|m_0(\omega +\pi ){|}^2=1$. (4)

Лемма 2.В том случае, если $\phi (t)$ представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как $m_0(\omega )$ — $2\pi$ -периодическую функцию из $L_2(0,2\pi )$ , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

$\hat{\psi }(\omega )=m_1\left(\frac{\omega }{2}\right)\hat{\phi }\left(\frac{\omega }{2}\right)$, $(5)$

где

$m_1(\omega )=m_0^{*}(\omega +\pi )\exp (-jw)$ — вейвлет-функция. (6)

Таким образом, скейлинг-функция $\phi (t)$ и материнская вейвлет-функция $\psi (t)$ определяются $2\pi$ -периодической функцией $m_0(w)\in L_2(0,2\pi )$ согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

$m_0(0)=0$.

Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты

Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей $2\pi$ -периодической функцией $m_0(w)\in L_2(0,2\pi )$, но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.

Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.

Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию $m_0(\omega )$ :

$m_0(\omega )={\left(\frac{1+\exp (-j\omega )}{2}\right)}^{N}L(\omega ),$

где $L(\omega )$ — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:

1. $\int \phi (t)t^{l}dt=0,l=1,..,N-1;$
2. $\int \phi (t)tdt=1;$
3. $\int \psi (t)t^{l}dt=0,l=0,..,N-1.$

Или в частотной области:

1. ${\hat{\phi }}^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-1;$
2. $\hat{\phi }(0)=1;$
3. ${\hat{\psi }}^{(l)}(0)=0,l=0,..,N-1.$

Условие ${\hat{\phi }}^{(l)}(0)=0$ подразумевает $m^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-1;$.

Если существует некоторое число $N=2K,K\in \mathrm{N}$, тогда, согласно работе рассматриваемая функция $m_0(\omega )$ для койфлетов может быть представлена в виде:

$m_0(\omega )={\left(\frac{1+\exp (-j\omega )}{2}\right)}^{2K}{P}_1(\omega ),$

где

$P_1(\omega )=\sum _{k=0}^{K-1}[\left(\begin{array}{c}\frac{k}{K-1+k}\end{array}\right){(\sin (\frac{\omega }{2}))}^{2k}+{(\sin (\frac{\omega }{2}))}^{2K}F(\omega )],$ (7)

$F(\omega )$ — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:

$|m_0(\omega ){|}^2+|m_0(\omega +\pi ){|}^2=1$.

Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома $m_0(\omega )$ в виде (7), называются койфлетами уровня $N=2K$ .

Преимущества и применение койфлетов

• Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
• Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
• Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.

См. также

• Вейвлет
• Вейвлет Хаара
• Вейвлеты Добеши

Литература

• Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — https://web.archive.org/web/20021020170708/http://www.quantlet.de/scripts/wav/html/ .
• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.