Функции Матьё

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение Матьё

Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+[a-2q\cos (2x)]y=0,$

где $a$ и $q$ - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения Матьё

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: $y(x)=\exp (\mu x)\varphi (x)$,

где $\varphi (x)$ имеет период $2\pi$. При $\mu =0$ эти решения являются периодическими с периодом $2\pi$ и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: ${\mathrm{c}\mathrm{e}}_0(x),{\mathrm{c}\mathrm{e}}_1(x),{\mathrm{s}\mathrm{e}}_1(x),{\mathrm{c}\mathrm{e}}_2(x),{\mathrm{s}\mathrm{e}}_2(x),...$. Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: ${\mathrm{c}\mathrm{e}}_{2n}(x)=\sum _k{A}_k\cos 2kx,{\mathrm{c}\mathrm{e}}_{2n+1}(x)=\sum _k{B}_k\cos (2k+1)x,{\mathrm{s}\mathrm{e}}_{2n}(x)=\sum _k{C}_k\sin 2kx,{\mathrm{s}\mathrm{e}}_{2n+1}(x)=\sum _k{D}_k\sin (2k+1)x,$ где величины $A_k,B_k,C_k,D_k$ являются функциями от величин $a,q$ в уравнении Матьё. Значения $A_k,B_k,C_k,D_k$ можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. также

• Уравнение Хилла

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике / Пер. с англ. — М.: Атомиздат, 1972. — 392 с.
• Уравнение Матье, EqWorld