Ёмкость Минковского

Ёмкость Минковского — одно из обобщений длины кривой и площади поверхности на произвольные измеримые множества в геометрической теории меры,

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского.

Определение

Пусть $(X,\mu ,d)$ метрическое пространство с мерой, где $d$ является метрикой на $X$, а $\mu$ — это борелевская мера. Для подмножества $A$ в $X$ и вещественного ε > 0, обозначим через

$A_{\epsilon }=\{x\in X|d(x,A)<\epsilon \}$

его замкнутую $\epsilon$-окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности $k$ определяется как нижний предел

$M_{*}(A)=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\mu (A_{\epsilon })-\mu (A)}{{\epsilon }^k},$

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности $k$ как верхний предел

$M^{*}(A)=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\mu (A_{\epsilon })-\mu (A)}{{\epsilon }^k}.$

Если $M^{*}(A)=M_{*}(A)$, то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности $k$ A по мере μ, и обозначается $M(A)$.

Свойства

• Если $A$ есть замкнутое $n$-спрямляемое множество в ${ℝ}^{n+k}$, то ёмкость Минковского $A$ по отношению к объёму на ${ℝ}^{n+k}$ существует и совпадает с его $n$-мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.

См. также

• Размерность Минковского

Литература

• Шаблон:Книга