Абелев дифференциал

А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности $S$.

Пусть $g$ — род поверхности $S;a_1{b}_1{a}_2{b}_2\dots a_g{b}_g$ — циклы канонического базиса гомологий $S$. В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: $\text{I}\subset \text{II}\subset \text{III}$.

Абелев дифференциал Шаблон:Roman рода

Абелев дифференциал Шаблон:Roman рода — это голоморфные всюду на $S$ дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности $U$ каждой точки $P_0\in S$ имеют вид $\omega =pdz=p(z)dz$, где $z=x+iy$ — локальная униформизирующая переменная в $U$, $dz=dx+idy$, а $p(z)$ — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от $z$ в $U$. Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если

$\omega =pdz,\pi =qdz,a=a(z),$

то

$\omega +\pi =(p+q)dz,a\omega =(ap)dz.$

Абелев дифференциал Шаблон:Roman рода образуют векторное пространство $𝔄$ размерности $g$. После введения скалярного произведения

$(\omega ,\pi )={\iint }_S\omega \ast \bar{\pi },$,

где $\omega \ast \bar{\pi }$ — внешнее произведение $\omega$ на звёздно-сопряжённый дифференциал $\bar{\pi }$, пространство $𝔄$ превращается в гильбертово пространство.

Пусть ${A_1}^{\prime },{B_1}^{\prime },{A_2}^{\prime },{B_2}^{\prime },\dots ,{A_g}^{\prime },{B_g}^{\prime }$ суть $A$- и $B$-периоды абелева дифференциала Шаблон:Roman рода $\omega$, то есть интегралы

$A_j={\int }_{a_j}\omega ,B_j={\int }_{b_j}\omega ,j=1,2,\dots ,g.$

Тогда имеет место соотношение Шаблон:EF Если ${A_1}^{\prime },{B_1}^{\prime },{A_2}^{\prime },{B_2}^{\prime },\dots ,{A_g}^{\prime },{B_g}^{\prime }$ — периоды другого абелева дифференциала Шаблон:Romanрода $\pi$, то Шаблон:EF Соотношения Шаблон:Eqref и Шаблон:Eqref называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов Шаблон:Roman рода. Канонический базис абелева дифференциала Шаблон:Roman рода, то есть канонический базис ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots {\varphi }_g$ пространства $𝔄$, выбирается таким образом, что

$A_{ij}={\int }_{a_i}{\phi }_i={\delta }_{ij},$

где ${\delta }_{ii}=1$ и ${\delta }_{ij}=0$ при $j\ne i$. При этом матрица $B$-периодов

$B_{ij}={\int }_{b_j}{\phi }_{ij},i,j=1,2\dots ,g$

симметрическая, а матрица мнимых частей $(\mathrm{Im}{B}_{ij})$ положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все $A$-периоды или все $B$-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала Шаблон:Roman рода $\omega$ действенны, то $\omega =0$.

Литература

• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация