Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда в нее явно не входит независимое переменное $t$.

Автономная система в нормальном виде (её также называют динамической системой) имеет вид:

$\frac{d{x}_k}{dt}=f_k(x_1,...,x_n),k=1,...,n$

или в векторной записи:

$\frac{d\overline{x}}{dt}=\overline{f}(\overline{x})$

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию $x_{n+1}$, заменив ею аргумент $t$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением $\frac{d{x}_{n+1}}{dt}=1$. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с $n$ на $n+1$, что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу «длина дуги», это производится следующим соотношением $dl=\sqrt{d{t}^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2}$, которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

Свойства автономной системы

Если $\overline{x}=\overline{x}(t)$ — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процессы, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть $x_1,\dots ,x_n$, и не зависят от выбора начального значения аргумента $t$.

См. также

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
• Отклонение решений автономной системы

Ссылки

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.