Алгоритмы быстрого возведения в степень

Алгоритмы быстрого возведения в степень (дихотомический алгоритм возведения в степень, бинарный алгоритм возведения в степень) — алгоритмы, предназначенные для возведения числа $x$ в натуральную степень $n$ за меньшее число умножений, чем это требуется в определении степени. Многие из этих алгоритмов основаны на том, что для возведения числа $x$ в степень $n$ не обязательно перемножать число $x$ на само себя $n$ раз, а можно перемножать уже вычисленные степени. В частности, если $n=2^k$ степень двойки, то для возведения в степень $n$ достаточно число возвести в квадрат $k$ раз, затратив при этом $k$ умножений вместо $2^k$. Например, чтобы возвести число $x$ в восьмую степень, вместо выполнения семи умножений $x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x$ можно возвести число в квадрат ($x^2=x\cdot x$), потом результат возвести ещё раз в квадрат и получить четвёртую степень ($x^4=x^2\cdot x^2$), и наконец результат ещё раз возвести в квадрат и получить ответ ($x^8=x^4\cdot x^4$).

Кроме того, некоторые алгоритмы для дальнейшей оптимизации используют тот факт, что операция возведения в квадрат быстрее операции умножения за счёт того, что при возведении в квадрат цифры в сомножителе повторяютсяШаблон:Sfn.

Бинарный алгоритм возведения в степень был впервые предложен в XV веке персидским математиком Аль-КашиШаблон:Sfn.

Данные алгоритмы не всегда оптимальны. Например, при использовании схемы «слева направо» быстрое возведение в степень n = 15 потребует выполнения трёх операций умножения и трёх операций возведения в квадрат, хотя возведение в 15-ю степень можно выполнить и за 3 умножения и 2 возведения в квадратШаблон:Sfn. Оптимальное возведение в степень соответствует построению кратчайшей аддитивной цепочки.

Описание

Основным алгоритмом быстрого возведения в степень является схема «слева направо». Она получила своё название вследствие того, что биты показателя степени просматриваются слева направо, то есть от старшего к младшемуШаблон:Sfn.

Пусть

$n=(\overline{m_k{m}_{k-1}...m_1{m}_0}{)}_2$ — двоичное представление степени n, то есть,

$n=m_k\cdot 2^k+m_{k-1}\cdot 2^{k-1}+\dots +m_1\cdot 2+m_0,$

где $m_k=1,m_i\in \{0,1\}$. Тогда

$x^n=x^{((\dots ((m_k\cdot 2+m_{k-1})\cdot 2+m_{k-2})\cdot 2+\dots )\cdot 2+m_1)\cdot 2+m_0}=((\dots (((x^{m_k}{)}^2\cdot x^{m_{k-1}}{)}^2\dots {)}^2\cdot x^{m_1}{)}^2\cdot x^{m_0}$Шаблон:Sfn.

Последовательность действий при использовании данной схемы можно описать так:

1. Представить показатель степени n в двоичном виде
2. Если $m_i$ = 1, то текущий результат возводится в квадрат и затем умножается на x. Если $m_i$ = 0, то текущий результат просто возводится в квадратШаблон:Sfn. Индекс i изменяется от k-1 до 0Шаблон:Sfn.

Таким образом, алгоритм быстрого возведения в степень сводится к мультипликативному аналогу схемы ГорнераШаблон:Sfn:

$\left\{\begin{array}{c}{s}_1=x\\ s_{i+1}=s_i^2\cdot x^{m_{k-i}}\\ i=1,2,\dots ,k\end{array}\right\}.$

Обобщения

Пусть пара (S, *) — полугруппа, тогда мы можем назвать операцию * умножением и определить операцию возведения в натуральную степень:

$a^n=\{\begin{array}{cc}a& n=1\\ a*\left(a^{n-1}\right)& n>1\end{array}$

Тогда для вычисления значений aⁿ в любой полугруппе (в абелевой группе в частности) можно использовать алгоритмы быстрого возведения в степеньШаблон:Sfn.

Примеры решения задач

Применяя алгоритм, вычислим 21¹³:

$13_{10}=1101_2$

$m_3=1,m_2=1,m_1=0,m_0=1$

$\begin{array}{cc}21^{13}& =(((21^{m_3}{)}^2\cdot 21^{m_2}{)}^2\cdot 21^{m_1}{)}^2\cdot 21^{m_0}\\ & =(((21^1{)}^2\cdot 21^1{)}^2\cdot 21^0{)}^2\cdot 21^1\\ & =((21^2\cdot 21{)}^2\cdot 1{)}^2\cdot 21\\ & =((21^2\cdot 21{)}^2{)}^2\cdot 21\\ & =((441\cdot 21{)}^2{)}^2\cdot 21\\ & =85766121^2\cdot 21\\ & =154472377739119461\end{array}$

Схема «справа налево»

В данной схеме, в отличие от схемы «слева направо», биты показателя степени просматриваются от младшего к старшемуШаблон:Sfn.

Последовательность действий при реализации данного алгоритма.

1. Представить показатель степени n в двоичном виде.
2. Положить вспомогательную переменную z равной числу x.
   1. Если $m_i=1$, то текущий результат умножается на z, а само число z возводится в квадрат. Если $m_i$ = 0, то требуется только возвести z в квадратШаблон:Sfn. При этом индекс i, в отличие от схемы слева направо, изменяется от 0 до k-1 включительноШаблон:Sfn.

Данная схема содержит столько же умножений и возведений в квадрат, сколько и схема «слева направо». Однако несмотря на это, схема «слева направо» выгоднее схемы «справа налево», особенно в случае, если показатель степени содержит много единиц. Дело в том, что в схеме слева направо в операции result = result · x содержится постоянный множитель x. А для небольших x (что нередко бывает в тестах простоты) умножение будет быстрым. К примеру, для x = 2 мы можем операцию умножения заменить операцией сложенияШаблон:Sfn.

Математическое обоснование работы данного алгоритма можно представить следующей формулой:

$d=a^n=$

$=a^{\sum _{i=0}^k{m}_i\cdot 2^i}=$

$=a^{m_0}\cdot a^{2m_1}\cdot a^{2^2*m_2}\cdot ...\cdot a^{2^k*m_k}=$

$=a^{m_0}\cdot (a^2{)}^{m_1}\cdot (a^{2^2}{)}^{m_2}\cdot ...\cdot (a^{2^k}{)}^{m_k}=$

$=\prod _{i=0}^k(a^{2^i}{)}^{m_i}$Шаблон:Sfn.

Пример. Посчитаем с помощью схемы возведения в степень «справа налево» значение 21¹³.

i	0	1	2	3
$a^{2^i}$	21	441	194 481	37 822 859 361
$m_i$	1	0	1	1

1. 21 · 194 481 = 4084 101
2. 4084 101 · 37 822 859 361 = 154 472 377 739 119 461

Вычислительная сложность

И для схемы «слева направо», и для схемы «справа налево» количество операций возведения в квадрат одинаково и равно k, где k — длина показателя степени n в битах, $k\sim \ln n$. Количество же требуемых операций умножения равно весу Хэмминга, то есть количеству ненулевых элементов в двоичной записи числа n. В среднем требуется $\frac{1}{2}\cdot \ln n$ операций умноженияШаблон:Sfn.

Например, для возведения числа в сотую степень этим алгоритмом потребуется всего лишь 8 операций умножения и возведения в квадратШаблон:Sfn.

Для сравнения, при стандартном способе возведения в степень требуется $n-1$ операция умножения, то есть количество операций может быть оценено как $O(n)$Шаблон:Sfn.

Оптимизация алгоритма

Как правило, операция возведения в квадрат выполняется быстрее операции умножения. Метод окон позволяет сократить количество операций умножения и, следовательно, сделать алгоритм возведения в степень более оптимальнымШаблон:Sfn.

Окно фактически представляет собой основание системы счисленияШаблон:Sfn. Пусть w — ширина окна, то есть за один раз учитывается w знаков показателя.

Рассмотрим метод окна.

1. Для $i=\overline{0,2^w-1}$ заранее вычисляется xⁱ
2. Показатель степени представляется в следующем виде: $n=\sum _{i=0}^{k/w}{n}_i\cdot 2^{i\cdot w}$, где $n_i\in (0,1,...,2^w-1)$
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим $y=x^{n_{k/w}}$.
4. Для всех i = k/w — 1, k/w — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
   1. $y=y^{2^w}$
   2. $y=y\cdot x^{n_i}$Шаблон:Sfn.

В данном алгоритме требуется k возведений в квадрат, но число умножений в среднем сокращается до k/wШаблон:Sfn.

Ещё более эффективным является метод скользящего окна. Он заключается в том, что ширина окна во время выполнения процесса может изменяться:

1. Показатель степени представляется в виде $n=\sum _{i=0}^l{n}_i\cdot 2^{e_i}$, где $n_i\in (1,3,5,...,2^w-1)$, а e_i+1 — e_i ≥ w.
2. Для $i=(1,3,5,...,2^w-1)$ вычисляется xⁱ. Далее будем обозначать xⁱ как x_i.
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим $y=x^{n_l}$.
4. Для всех i = l — 1, l — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
   1. Для всех j от 0 до e_i+1 — e_i — 1 y возвести в квадрат
   2. $j=m_i$
   3. $y=y\cdot x_j$
5. Для всех j от 0 до e₀ — 1 y возвести в квадратШаблон:Sfn.

Количество операций возведения в степень в данном алгоритме такое же, как и в методе окна, а вот количество операций умножений сократилось до l, то есть до $\frac{k}{w+1}$ в среднемШаблон:Sfn.

Для примера возведём методом скользящего окна число x в степень 215. Ширина окна w = 3.

1. 215 = 2⁷ + 5 · 2⁴ + 7
2. y = 1
3. y = y · x = x
4. y 3 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₂ — e₁ −1 = 7 — 4 — 1 = 2, а отсчёт ведётся с нуля, то есть y = y⁸ = x⁸
5. y = y · x⁵ = x¹³
6. y 4 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₁ — e₀ −1 = 4 — 0 — 1 = 3, то есть y = y¹⁶= x²⁰⁸
7. y = y · x⁷ = x²¹⁵

Применение

Алгоритм быстрого возведения в степень получил широкое распространение в криптосистемах с открытым ключом. В частности, алгоритм применяется в протоколе RSA, схеме Эль-Гамаля и других криптографических алгоритмахШаблон:Sfn.

См. также

• Возведение в степень по модулю
• Алгоритмы быстрого возведения в степень по модулю

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Source
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Source
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Source
• Шаблон:Source
• Шаблон:Source