Альтернативная матрица

Шаблон:Не путать Шаблон:TOC Right Альтернати́вная ма́трица (Шаблон:Lang-en) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности $m\times n$, задаваемая с помощью $m$ элементов ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_m$ и $n$ функций $f_1,f_2,\dots f_n$ так, что каждый элемент матрицы $M_{i,j}=f_j({\alpha }_i)$ или, в развёрнутом виде:

$M=\left[\begin{array}{cccc}{f}_1({\alpha }_1)& f_2({\alpha }_1)& \dots & f_n({\alpha }_1)\\ f_1({\alpha }_2)& f_2({\alpha }_2)& \dots & f_n({\alpha }_2)\\ f_1({\alpha }_3)& f_2({\alpha }_3)& \dots & f_n({\alpha }_3)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1({\alpha }_m)& f_2({\alpha }_m)& \dots & f_n({\alpha }_m)\end{array}\right]$

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при $f_i(\alpha )={\alpha }^{i-1}$. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной.) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — Шаблон:Не переведено 3, в которой $f_i(\alpha )={\alpha }^{q^{i-1}}$.

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции $f_j(x)$ полиномиальны, то при условии ${\alpha }_i={\alpha }_j$ для всех $i<j$ детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, $({\alpha }_j-{\alpha }_i)$ является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых $i,j$, удовлетворяющим условию $1\le i<j\le n$. Следовательно, детерминант Вандермонда

$V=\left[\begin{array}{cccc}1& {\alpha }_1& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& \dots & {\alpha }_n^{n-1}\end{array}\right]$

равный $\prod _{i<j}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$ также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение $\frac{\det M}{\det V}$ носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда $f_j(x)=x^{m_j}$, мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также

• Матрица Вандермонда
• Список матриц

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга