Аналитический элемент

Аналитический элемент — понятие в комплексном анализе, применяемое для удобства определения аналитического продолжения; оно вводится как упорядоченная пара $(G,f)$, где $G\subset ℂ$ — некоторая односвязная область, а $f$ — аналитическая в этой области функция.

Аналитические элементы $(G_1,f_1)$ и $(G_2,f_2)$ называются аналитическим продолжением друг друга, если $G_1\cap G_2\ne \mathrm{\varnothing }$ и на $\mathrm{\Delta }$ — одной из связных компонент множества $G_1\cap G_2$ — выполняется тождественное равенство $f_1\equiv f_2$. Приведенное в таком виде определение в случае односвязности $\mathrm{\Delta }$ полностью совпадает с понятием аналитического продолжения для функций. Однако в чистом виде аналитические элементы применяются достаточно редко, в основном используется их частный случай — канонический элемент.

Канонический элемент с центром в точке $z_0\in ℂ$ — аналитический элемент вида $(K,f)$, где $f$ — аналитическая в $z_0$ функция, а $K$ — круг сходимости ряда Тейлора функции $f$ в этой точке.

Литература

• Шаблон:Книга