Апериодическое звено

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

$a_1\dot{y}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)$.

К стандартному виду приводится делением на $a_0$ правой и левой части уравнения:

$T\dot{y}(t)+y(t)=kx(t)$,

где:

• $y(t)$ — выходная величина;
• $x(t)$ — входная величина;
• $k=\frac{b_0}{a_0}$ — коэффициент усиления звена;
• $T=\frac{a_1}{a_0}$ — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристики

Переходная функция:

$h(t)=k(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{T}})$

Весовая функция:

$w(t)=\frac{k}{T}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{T}}$

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

$TsY(s)+Y(s)=kX(s)$,

АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

$Y(s)[Ts+1]=X(s)k$.

$W(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{k}{Ts+1}$

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо $s$ комплексной переменой $j\omega$.

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число $(1-j\omega T)$:

$W(j\omega )=\frac{k}{1+j\omega T}\cdot \frac{1-j\omega T}{1-j\omega T}=\frac{k-j\omega Tk}{1+{\omega }^2{T}^2}=\frac{k}{1+{\omega }^2{T}^2}-j\frac{\omega Tk}{1+{\omega }^2{T}^2}$

$\mathrm{R}\mathrm{e}\{W(j\omega )\}=\frac{k}{1+{\omega }^2{T}^2}$

$\mathrm{I}\mathrm{m}\{W(j\omega )\}=-\frac{\omega Tk}{1+{\omega }^2{T}^2}$

ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

$W(s)=\frac{2}{0.1s+1}$

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот $\omega <\frac{1}{T}$ проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена $k$. Колебания частот $\omega >\frac{1}{T}$ проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени $T$, а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени $T$, тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
$T_2^2\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+T_1\frac{d{x}_2}{dt}+x_2=k{x}_1$,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
$W(s)=\frac{k}{T_2^2{s}^2+T_{1}s+1}$

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры применения

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

См. также

• Система управления
• Автоматизация

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 80. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.