Аппроксимация Паде

Шаблон:TOCright Аппроксима́ция Паде́ — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

$f(z)=c_0+c_{1}z+c_2{z}^2+\dots$

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты $a_i$ и $b_i$ и получить аппроксимант

$\frac{a_0+a_{1}z+\dots +a_L{z}^L}{1+b_{1}z+\dots +b_M{z}^M}.$

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение

Пусть имеется разложение функции $f(z)$ в степенной ряд Тейлора:

$f(z)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_i{z}^i,$

где $c_i$ — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

$[L/M]=\frac{a_0+a_{1}z+\dots +a_L{z}^L}{b_0+b_{1}z+\dots +b_M{z}^M},$

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции $f(z)$ до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет $L+1$ коэффициентов в числителе и $M+1$ — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителяШаблон:Нет АИ.

Обобщения

• Многоточечные аппроксимации Паде
• Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
• Аппроксимация функции нескольких переменных
• Матричные аппроксимации Паде
• Аппроксимация Паде — Чебышёва
• Аппроксимация Паде — Фурье

Библиография

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web