Асимптотически эквивалентные системы

Определение

Асимптотически эквивалентными системами называются системы дифференциальных уравнений

$\frac{dx}{dt}=f(t,x)(1)$

и

$\frac{dy}{dt}=g(t,y)(2)$

если между их решениями $x(t)$ и $y(t)$ можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}[x(t)-y(t)]=0.(3)$

Признак асимптотической эквивалентности

Теорема Левинсона

Пусть решения системы

$\frac{dx}{dt}=Ax,(4)$

где $A$ — постоянная $(n\times n)$-матрица, ограничены на $[0,\mathrm{\infty })$. Тогда система

$\frac{dy}{dt}=[A+B(t)]y$,

где $B(t)\in C[0,\mathrm{\infty })$и $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(t)\Vert dt<\mathrm{\infty }$ асимптотически эквивалентна системе $(4)$.

В представленной выше формуле $\Vert \cdot \Vert$ обозначает норму матрицы.

См. также

• Теорема Левинсона

Источники

1. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений. Шаблон:Ref-ru(рус.)
2. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб., № 61 (103):1 1963, С 13-39. Шаблон:Ref-ru(рус.)
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. Шаблон:Ref-ru(рус.)