Теорема Левинсона

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Формулировка теоремы

Пусть решения системы

$\frac{dx}{dt}=Ax,(1)$

где $A$ — постоянная $(n\times n)$-матрица, ограничены на $[0,\mathrm{\infty })$. Тогда система

$\frac{dy}{dt}=[A+B(t)]y,(2)$

где $B(t)\in C[0,\mathrm{\infty })$и $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(t)\Vert dt<\mathrm{\infty },(3)$

асимптотически эквивалентна системе $(1)$.

Доказательство

(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру )

Поскольку решения системы $(1)$ ограничены, то характеристические корни $\lambda (A)$ матрицы $A$  удовлетворяют равенству

$Re\lambda (A)\le 0,$

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.

Без ограничения общности предположим, что матрица $A$  имеет квазидиагональный вид

$A=diag(A_1,A_2),(4)$

где $A_1$  и $A_2$ -- соответственно, $(p\times p)$- и $(q\times q)$-матрицы $(p+q)$ такие, что

$Re\lambda (A_1)<-\alpha <0,$

$Re\lambda (A_2)=0,(5)$

Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований $\xi =S𝒙,$ и $\eta =S𝒚,$ где $S$ — постоянная $(n\times n)$-матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми $\mathit{\xi }(t)⟺\mathit{\eta }(t)$ индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми $𝒙(t)=S^{-1}\xi (t)⟺S^{-1}\eta (t)=𝒚(t)$.

Кроме того, из предельного отношения $\mathit{\xi }(t)-\mathit{\eta }(t)\to 0,$ при $t\to \mathrm{\infty }$ очевидно, следует предельное отношение

$𝒙(t)-𝒚(t)\to 0,$ при $t\to \mathrm{\infty }$.

$1)$  Пусть  $X(t)=diag(e^{t{A}_1},e^{t{A}_2})$ -- фундаментальная матрица системы $(1),$ нормированная в нуле: $X(t)=E,$ а $I_1=diag(E_p,0),$ и $I_2=diag(0,E_q),$ где $E_q$ и $E_p$ -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, $I_1+I_2=E_n.$

Положим $X(t)=X_1(t)+X_2(t),$ где $X_1(t)=X(t)I_1\equiv diag(e^{t{A}_1},0),$ и $X_2(t)=X(t)I_2\equiv diag(0,e^{t{A}_2})$.

Отсюда матрицу Коши 

$K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )$

 можно представить в виде:

$K(t,\tau )=X_1(t-\tau )+X_2(t-\tau ),$

причем при условии

$(5)$

имеем

$\Vert X_1(t)\Vert =\Vert e^{t{A}_1}\Vert \le a{e}^{-\alpha t},$

при

$0\le t<\mathrm{\infty }$

   

$(6)$

и

$\Vert X_2(t)\Vert =\Vert e^{t{A}_2}\Vert \le b,$

 при

$-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$ $(7),$

 где

$a,b$

 - некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме

$y(t)=X(t-t_0)𝒚(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_1(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau +$$\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau ,$ где $t\in [0,\mathrm{\infty })$  произвольное.

Поскольку матрица

$B(t)$

 абсолютно интегрирована на

$[0,\mathrm{\infty }),$

то все решения 

$𝒚(t)$

 системы

$(2)$

ограничены на

$[0,\mathrm{\infty }),$

и поэтому несобственный интеграл $\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau$ является сходящимся.

Отсюда, учитывая, что

$X_2(t-\tau )=X(t-\tau )I_2=X(t-t_0)X(t_0-\tau )I_2=X(t-t_0)X_2(t_0-\tau ),$

наше интегральное уравнение можно представить в виде

$y(t)=X(t-t_0)[𝒚(t_0)+\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t_0-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau ]+$$+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_1(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau -\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau (8)$

Решению

$𝒚(t)$

системы

$(2)$

с начальным условием

$𝒚(t_0)={𝒚}_0$

сопоставим решение

$𝒙(t)$

системы

$(1)$

с начальным условием

$𝒙(t_0)={𝒚}_0(t_0)+\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau (9)$

Поскольку решения 

$𝒙(t)$

и

$𝒚(t)$

полностью определяются своими начальными условиями, то формула

$(9)$

устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений

$\{𝒚(t)\}$

системы

$(2)$

и множеством решений

$\{𝒙(t)\}$

(или ее частью) системы

$(1)$

. Заметим, что отношение

$(9)$

непрерывное относительно начального значения

$𝒚(t_0)={𝒚}_0.$

$2)$  Покажем, что соответствие между решениями $𝒙(t)$ и $𝒚(t),$ что определяется формулой $(9),$ является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений $\{𝒙(t)\}$.

Пусть

$Y(t)$

-- фундаментальная матрица системы

$(1)$

такая, что

$Y(t_0)=E$

. Имеем

$Y(t)=X(t-t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}X(t-\tau )B(\tau )Y(\tau )d\tau .$

Но из неравенств

$(6),(7)$

следует

$\Vert X(t-t_0)\Vert \le max(a,b)=c,$

  при

$t\ge t_0$

; поэтому

$\Vert Y(t)\Vert \ge c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}c\Vert B(\tau )\Vert \Vert Y(\tau )\Vert d\tau$

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

$\Vert Y(t)\Vert \ge c\exp (\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}c\Vert B(\tau )\Vert d\tau )\ge c\exp (c\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau )=k,$

при$t_0\ge t<\mathrm{\infty }(10),$

причем константа

$k$

по оценке

$(10)$

не зависит от выбора начального момента

$t_0(t_0\le 0).$

Очевидно, имеем $𝒚(t)=Y(t)𝒚(t_0).$

Поэтому из формулы

$(9)$

получаем

$𝒚(t_0)=[E+Z(t_0)]𝒚(t_0),$

где

$Z(t_0)=\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t_0-\tau )B(\tau )Y(\tau )d\tau ,$

причем на основе

$(7),(10)$

выводим

$\Vert Z(t_0)\Vert \ge \underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert X_2(t_0-\tau )\Vert \Vert B(\tau )\Vert \Vert Y(\tau )\Vert d\tau \ge bk\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau (12).$

Поскольку матрица

$B(t)$

абсолютно интегрирована на

$[0,\mathrm{\infty })$

, то

$\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau \to 0$

при

$t_0\to \mathrm{\infty }$

, следовательно, в силу

$(12)$

начальный момент

$t_0$

можно выбрать настолько большим, чтобы имело место

$\det [E+Z(t_0)]>0.(13)$

В дальнейшем

$t_0$

будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства

$(13)$

. Отсюда и из формулы

$(11)$

выводим

$𝒚(t_0)=[E+Z(t_0)]^-1𝒙(t_0).(14)$

Поскольку формулы

$(11)$

и

$(14)$

равносильны, то для каждого решения

$𝒙(t)$

системы

$(1)$

с начальным условием

$𝒙(t_0)={𝒙}_0$

найдется только одно решение

$𝒚(t)$

системы

$(2),$

 которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие

$𝒚(t_0)$

которого определяется формулой

$(14).$

Соответствие между решениями $𝒙(t)$ и $𝒚(t)$, которое устанавливается формулами $(11)$ и $(14),$ -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению $𝒚(t)$ соответствует одно и только одно решение $𝒙(t)$, и наоборот.

Отметим, что тривиальному решению $𝒚\equiv 0$ соответствует тривиальное решение $𝒙\equiv 0$ и в силу линейности соотношений $(11)$ и $(14)$ различными решениям ${𝒚}_1(t)$ и ${𝒚}_2(t)$ системы $(2),$ отвечают разные решения ${𝒙}_1(t)$ и ${𝒙}_2(t)$ системы $(1),$ и наоборот.

Для соответствующих решений $𝒙(t)$ и $𝒚(t)$ оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что

$𝒙(t)=X(t-t_0)𝒙(t_0),$ где $𝒙(t_0)$ определяется формулой $(9)$, то из формулы $(8)$ имеем

$𝒚(t)-𝒙(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_1(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau -\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau .$

Отсюда, учитывая, что

$\Vert 𝒚(t)\Vert =\Vert Y(t)𝒚(t_0)\Vert \le \Vert Y(t)\Vert \Vert 𝒚(t_0)\Vert \le k\Vert 𝒚(t_0)\Vert ,$ при $t\ge t_0,$

на основе оценок

$(6)$

 и

$(7)$

получаем

$\Vert 𝒚(t)-𝒙(t)\Vert \le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\Vert X_1(t-\tau )\Vert \Vert B(\tau )\Vert \Vert 𝒚(\tau )d\tau +\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert X_2(t-\tau )\Vert \Vert B(\tau )\Vert \Vert 𝒚(\tau )d\tau \le$

$\le ak\Vert 𝒚(t_0)\Vert \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau +bk\Vert 𝒚(t_0)\Vert \underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau .(15)$

Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы

$B(t)$

 при

$t\ge 2t_0$

имеем

$\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau =\underset{t_0}{\overset{\frac{t}{2}}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau +\underset{\frac{t}{2}}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau \le$

$\le e^{-\frac{\alpha t}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau +\underset{\frac{t}{2}}{\overset{t}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau <\epsilon ,$ если $t>T.$

Итак,

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau =0.$

Таким образом, из неравенства $(15)$выводим $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}[x(t)-y(t)]=0,$ то есть системы $(1)$ и $(2)$ асимптотически эквивалентны. Доказано.

См. также

• Лемма Гронуолла-Беллмана
• Асимптотически эквивалентные системы

Источники

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. Шаблон:Ref-ru(рус.)