Аффинная комбинация

Аффинная комбинация — линейная комбинация заданных векторов $x_1,\dots ,x_n$ векторного пространства $V$ над полем $F$:

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n$,

сумма коэффициентов в которой равна 1, то есть:

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1$.

Операция взятия аффинной комбинации коммутирует с любым аффинным преобразованием $T$ в том смысле, что:

$T\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}T{x}_i$.

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек заданного аффинного преобразования $T$ является также неподвижной точкой $T$, так что множество неподвижных точек $T$ образует аффинное подпространство (в трёхмерном пространстве: прямая или плоскость, а в тривиальных случаях, точка или всё пространство).

Когда стохастическая матрица $A$ действует на вектор-столбец $B$, результатом будет вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями элементов $B$ с коэффициентами из строк матрицы $A$.

Специализация понятия — выпуклая комбинация, для которой дополнительно требуется неотрицательность скалярных коэффициентов в линейной комбинации.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Notes on affine combinations.