Бикватернионная формула Остроградского — Гаусса

Кватернионные формулы

Для кватернионных функций $f(Q)$ кватернионного аргумента $Q=(t,𝐫),𝐫=(x,y,z)$, непрерывно дифференцируемых по каждой из координат $t,x,y,z$ внутри некоторой области $V_4$ псевдоевклидова кватернионного пространства и на его границе $S_3=\partial V_4$ , имеют место формулы типа Остроградского-Гаусса:

${\oint }_{S_3}fdQ=\underset{V_4}{\int }f\hat{D}d{V}_4$

${\oint }_{S_3}dQf=\underset{V_4}{\int }\hat{D}fd{V}_4,$

где $\hat{D}=\frac{\partial }{\partial t}+𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z}$, $Q=t+𝐢x+𝐣y+𝐤z$, $𝐢,𝐣,𝐤$ — базисные кватернионы, . В первой из этих формул оператор $\hat{D}$ действует влево от себя, а во второй — вправо от себя.

Бикватернионные формулы для одной функции

Аналогично приведённым выше кватернионным формулам имеют место формулы типа Остроградского-Гаусса для бикватернионных функций $F$ вещественного бикватернионного аргумента $Z$:

${\oint }_{S_3}FdZ=\underset{V_4}{\int }(FD)d{V}_4$

${\oint }_{S_3}dZF=\underset{V_4}{\int }(DF)d{V}_4$

В правых частях этих формул производится интегрирование внутри некоторой вещественнозначной области $V_4$ комплексного псевдоевклидова пространства бикватернионов, а в левых частях производится интегрирование по границе этой области $S_3=\partial V_4$. $D=({\partial }_t,\mathrm{\nabla })$ обозначает бикватернионный 4-градиент.

Из бикватернионных формул для одной функции при рассмотрении частного случая чисто векторной функции $F=𝐅$ следуют обычная формула Остроградского-Гаусса и теорема Стокса:

${\oint }_{S_2}𝐅\cdot d𝐬=\underset{V_3}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)d{V}_3$

${\oint }_{S_2}d𝐬\times 𝐅=\underset{V_3}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)d{V}_3,$

Бикватернионная формула для двух функций

Существует расширение формул для одной функции вещественного бикватернионного аргумента на случай двух функций $F(Z),G(Z)$ вещественного бикватернионного аргумента $Z$ .

${\oint }_{S_3}FdZG=\underset{V_4}{\int }(FDG)d{V}_4,$

где используется следующая квадратичная форма от функций $F(Z),G(Z)$:

$(FDG)=(FD)G+F(DG).$

Каждую из бикватернионных формул для одной функции можно получить из бикватернионной формулы для двух функций, если взять в качестве одной из двух функций единицу.

См. также

• Кватернионы
• Бикватернионы
• Формула Остроградского — Гаусса
• Теорема Стокса