Формула Остроградского — Гаусса

Шаблон:Дзт Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Поток вектора $𝐚$ через замкнутую поверхность $S$ равен интегралу от $\mathrm{div}𝐚,$ взятому по объему $V$, ограниченному поверхностью $S$

$\underset{S}{\iint }𝐚\cdot d𝐬=\underset{V}{\iiint }\mathrm{div}𝐚\cdot d𝐯$

В координатной записи формула Остроградского — Гаусса принимает вид:

$\underset{S}{\iint }{a}_{x}dydz+a_{y}dzdx+a_{z}dxdy=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z})dxdydz$

$a_x,a_y,a_z$ - проекции вектора $𝐚$

Следствия из теоремы Остроградского — Гаусса:

1) в бездивергентном поле ($\mathrm{div}𝐚=0$) поток вектора $𝐚$ через любую замкнутую поверхность $S$, являющуюся полной границей некоторого тела $V$, равен нулю.

2) если внутри замкнутой поверхности $S$ имеется источник или сток, то поток вектора $𝐚$ через эту поверхность, убывающий с расстоянием как $1/r^2$, не зависит от её формы.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

$\int (\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz})d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )ds,$

где $d\omega$ и $ds$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. $P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Современная запись формулы:

$\int (\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz})d\mathrm{\Omega }=\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,$

где $\cos \alpha dS=dydz$, $\cos \beta dS=dzdx$ и $\cos \gamma dS=dxdy$. В современной записи $\omega =d\mathrm{\Omega }$ — элемент объёма, $s=dS$ — элемент поверхности.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$-кратного интеграла.

За рубежом формула, как правило, называется «теоремой о дивергенции» (Шаблон:Lang-en), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса — Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина
• Бикватернионная формула Остроградского — Гаусса

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).