Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр

Большой (вывернутый) обратноплосконосый икосододекаэдр — невыпуклый однородный многогранник, имеющий индекс U₇₄. Его символ Шлефли — s{3/2,5/3}.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин большого обратноплосконосого икосододекаэдра все являются чётными перестановками

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)),

(±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)),

(±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) and

(±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)),

с чётным числом знаков плюс, где

α = ξ−1/ξ

и

β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ),

где τ = (1+Шаблон:Radic)/2 — золотое сечение, а ξ — наименьший положительный вещественный нуль функции ξ³−2ξ=−1/τ, а именно

$\xi =\frac{(1+i\sqrt{3}){(\frac{1}{2\tau }+\sqrt{\frac{{\tau }^{-2}}{4}-\frac{8}{27}})}^{\frac{1}{3}}+(1-i\sqrt{3}){(\frac{1}{2\tau }-\sqrt{\frac{{\tau }^{-2}}{4}-\frac{8}{27}})}^{\frac{1}{3}}}{2}$

Марков = : β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ), где τ = (1+Шаблон:Radic)/2 — золотое сечение, а ξ — наименьший положительный вещественный нуль функции ξ³−2ξ=−1/τ, а именно

$\xi =\frac{(1+i\sqrt{3}){(\frac{1}{2\tau }+\sqrt{\frac{{\tau }^{-2}}{4}-\frac{8}{27}})}^{\frac{1}{3}}+(1-i\sqrt{3}){(\frac{1}{2\tau }-\sqrt{\frac{{\tau }^{-2}}{4}-\frac{8}{27}})}^{\frac{1}{3}}}{2}$

что примерно равно 0,3264046. Если взять нечётные перестановки координат выше с нечётным числом знаков плюс, получим другую, энантиоморфную, форму. Если взять нечётные перестановки с чётным числом знаков плюс или наоборот, получим те же тела, повёрнутые на 90 градусов.

Радиус описанной сферы для тела с единичным ребром равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2-x}{1-x}}=0,580002\dots$,

где $x$ — подходящий нуль функции $x^3+2x^2=(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}{)}^2$. Четыре положительных вещественных корня уравнения шестой степени в $R^2,$

$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^8-35776R^6+13872R^4-2696R^2+209=0$

являются радиусами описанных сфер плосконосого додекаэдра (U₂₉), Шаблон:Не переведено 5 (U₅₇), Шаблон:Не переведено 5 (U₆₉) и большого обратноплосконосого икосододекаэдра (U₇₄).

См. также

• Список однородных многогранников
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/