Вероятность перехода

Вероятностью перехода называется вероятность квантовой системы перейти из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние под воздействием какого-либо возмущения.

В теории возмущений вероятность перехода даётся формулой:

$w_{fi}=\frac{1}{{\hslash }^2}{|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{V}_{fi}(t)e^{i{\omega }_{fi}t}dt|}^2$

где $i$ и $f$ - начальное $|i⟩$ и конечное $|f⟩$ состояния системы,

$V_{fi}(t)$ - матричный элемент оператора возмущения $⟨f|\hat{V}(t)|i⟩$,

${\omega }_{fi}$ - разность энергий двух стационарных состояний $(E_f-E_i)/\hslash$.

Вышеуказанная формула справедлива в первом порядке теории возмущений, т.е. когда $V_{fi}\ll \hslash {\omega }_{fi}$. Предполагается что возмущение $\hat{V}$ затухает при $t\to \pm \mathrm{\infty }$. Для определения вероятности перехода на конечный момент времени $t$ надо положить верхний предел интеграла равным $t$, что эквивалентно выключению взаимодействия в этот момент времени.

Важным случаем является переход под воздействием периодического возмущения частоты $\omega$: $V_{fi}(t)={\tilde{V}}_{fi}{e}^{-i\omega t}$. Считая включение потенциала экспоненциальным $V_{fi}(t)={\tilde{V}}_{fi}{e}^{-i\omega t+\lambda t}$ , находим:

$w_{fi}(t)=\frac{1}{{\hslash }^2}{\left|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{\tilde{V}}_{fi}{e}^{i({\omega }_{fi}-\omega )t+\lambda t}dt\right|}^2=\frac{1}{{\hslash }^2}{\left|{\tilde{V}}_{fi}\right|}^2\frac{e^{2\lambda t}}{({\omega }_{fi}-\omega {)}^2+{\lambda }^2}$

Откуда в адиабатическом пределе $\lambda \to 0$ для вероятности перехода в единицу времени получаем:

$\frac{d}{dt}{w}_{fi}(t)=\frac{2\pi }{{\hslash }^2}{\left|{\tilde{V}}_{fi}\right|}^2\delta ({\omega }_{fi}-\omega )$

Данный результат тесно связан с золотым правилом Ферми, которое получается суммированием по конечным состояниям $f$, (полагая также $\omega =0$).

Литература

• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. — 384 с.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., Том. 8. Том 9., М., 1966—1967.

Шаблон:Phys-stub