Вмороженность магнитного поля

Вмороженность магнитного поля — эффект сохранения магнитного потока через замкнутый проводящий контур при его деформации. Магнитные силовые линии и частицы среды жестко связаны друг с другом, и перемещаются вместе со средой, то есть как бы вморожены в неё, например, при сжатии среды магнитные силовые линии также уплотняются.

Наблюдается преимущественно в жидких и газообразных средах с высокой проводимостью, например, в плазме. Электрическое поле индуцируемое движением среды должно быть равно нулю, иначе, в соответствии с законом Ома, в среде возник бы бесконечный ток, что невозможно. Поэтому, в силу закона об электро-магнитной индукции Фарадея, бесконечно проводящая среда не должна пересекать силовые линии магнитного поля.

История

Первым идею вмороженности магнитного поля в идеально проводящую плазму выдвинул Ханнес Альвен в 1942 году.

Математическое описание

В жидкости с бесконечной электропроводностью изменение магнитного потока во времени можно записать как:

$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}=\underset{S}{\int }\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{S}+{\oint }_C\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{v}\times d\overrightarrow{l},$

где $\overrightarrow{B}$ - индукция магнитного поля $\overrightarrow{v}$ - скорость, $\overrightarrow{S}$ - поверхность, ограниченная произвольной кривой $C$, $d\overrightarrow{l}$ - линейный элемент. Используя уравнение Максвелла

$\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}),$

получаем

$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}=\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{S}+{\oint }_C\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{v}\times d\overrightarrow{l}.$

Первый интеграл можно переписать с использованием теоремы Стокса, а второе- с помощью векторного тождества $(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}=-\overrightarrow{B}\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{C})$

В итоге получаем математическую запись:

$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}=0$

$\underset{S}{\int }\overrightarrow{B}\times d\overrightarrow{S}=const$

Межзвёздная среда

Проводимость реальных областей плазмы конечна. В условиях разряженной среды космической плазмы межзвездного вещества существенны большие размеры рассматриваемых контуров и, соответственно, большие времена затухания магнитного поля по сравнению с временем изучаемого процесса.