Волны Рэлея

Схема волны Рэлея. Показана деформация тела и траектория движения выделенной точки. Для наглядности деформации и смещения утрировано увеличены.

Во́лны Рэле́я — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея, теоретически предсказавшего их в 1885 году.

Волна Рэлея генерируется на границе твердой среды.

Описание

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхностиШаблон:Sfn.

Волна Рэлея в изотропном теле

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде: Шаблон:EF где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=U_t+U_l, где U_l=grad φ и U_t=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (Шаблон:Eqref) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещенийШаблон:Sfn: Шаблон:EF Шаблон:EF Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид: Шаблон:EF Шаблон:EF где $k_l=\omega \sqrt{\rho /(\lambda +2\mu )},$ $k_t=\omega \sqrt{\rho /\mu },$ — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волнШаблон:Sfn: Шаблон:EF Шаблон:EF где $q^2=k^2-k_l^2$; $s^2=k^2-k_t^2$; $k^2>k_t^2>k_l^2$; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде: Шаблон:EF Шаблон:EF В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение: Шаблон:EF Шаблон:EF После подставления решений (Шаблон:Eqref) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именноШаблон:Sfn: Шаблон:EF где $\eta =k_t/k$, $\xi =k_l/k_t$. Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν: Шаблон:EF Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волныШаблон:Sfn: Шаблон:EF Шаблон:EF

Дисперсионная кривая псевдорэлеевских волн

Практическое применение волн рэлеевского типа

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей, железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.

Литература

• Шаблон:Книга