Вполне ограниченное множество

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Замечания

• Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств ${ℝ}^{𝕟}$. Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной $a$. Затем — разбить его на $k^n$кубиков со сторонами $a/k$. Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением $k$.
• Если на конечномерном пространстве ${ℝ}^{𝕟}$ вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика $d(x,y)=\min (1,\mid x-y\mid )$ или дискретная метрика.
• В бесконечномерном пространстве $l^2$ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида $e_i=(0\dots 0,1,0\dots 0)$, $i\in \mathbb{N}$.
• В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи.
• Иногда термин «вполне ограниченность» (Шаблон:Lang-en) путают с термином «полная ограниченность» (Шаблон:Lang-en). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

Литература

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 106 с.