Гильбертов кирпич

Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $[0,1]$ (с топологией произведения).

Свойства

• По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
• Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства ${\ell }^2$:

  $[0,1]\times [0,\frac{1}{2}]\times [0,\frac{1}{3}]\times \dots ,$

то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности $\{x_n\}$ гильбертова пространства ${\ell }^2$, такие, что

$0⩽x_n⩽\frac{1}{n}$.

• Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
• Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Из

См. также

• Единичный куб
• Тихоновский куб